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Polynomes scindés
Bonsoir,
considérons les sous ensembles de 
[X] suivants :
D1 := {P
[X] | P(X) 
0 , 
x}
D2 := {A^2 + B^2 ; (A,B) [X] X [X]}
La premiere questions est de montrer la stabilité par multiplication sur D2
Réponse , soient P, Q D2 donc 
(A,B);(A',B') [X][X] tq :
P = A² +B² et Q = A'² + B'²
On a P.Q = (A² + B²).(A'² + B'²) = A²A'² + A²B'² + A'²B² + B²B'² = (AA' - BB')² + (AB' + A'B)²
la deuxieme question est de montrer que pour tout polynome scindé P = 
ni=1 (X-
i)
i avec i on a :
PD1 
PD2.
ici je ne sait pas quoi faire pourriez vous me donner une indication,
Merci de bien vouloir me répondre.
A.B
Une piste: si P appartient à D1 P n'a que des racines doubles, donc c'est un carré. donc P=A²
P est est bien de la forme P=A²+B² avec B le polynôme nul.
tq On peux facilement le montrer par l'absurde : si un "alpha i" est impair alors P s'annule et change de signe en "lambda i" donc il n'appartient pas à D1.
D'accord, Merci beaucoup pour ton aide, une derniere question si cela ne te deranges pas :
ce que j'ai posté juste avant est vrai ou faux ??
Merci..
A.B
la question suivante consiste a montrer sous quelles conditions a -t- on PD1? PD2 ?avec P = (X² +aX +b)?
J'ai trouvé :
PD1 
Paire ou a< 2
b.
PD2 Paire ou a = 2b.
C'est juste ??
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