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Porblèmes de rédaction, exercices de Galois
Bonjour,
Je révise mes partiels et je me rends compte qu'on nous a jamais appris à rédiger les exercices en théorie des nombres ( je bloque particulièrement sur ceux de théorie de Galois et les corps de nombres...).. J'aurais donc besoin d'un petit coup de pouce pour cela... Merci d'avance!
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Quel est le degré du corps de décomposition du polynôme sur
?
J'arrive sans difficulté à 18, pour moi ce corps c'est (j, racine 3 ème de 5 , racine 3 ème de 7 )
mais ça me semble clair, je ne vois pas comment "le montrer " ...
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Soit G le groupe de Galois de , on me demande le cardinal de G, dire s'il est abléien et résoluble?
Là encore je vois bien que l'extension est de degré 5x4 = 20 car 
(5) = 4 ...comme (racine 5 ème de 2 ) est un sous corps du corps de décomposition de , et que ce corps n'est qu'un corps de rupture, cette extension n'est pas galoisienne donc G ne peut être abélien.
Par contre pour la résolubilité je ne vois pas.
Merci d'avance à tous! Bonne journée 
Bonjour,
pour ta première question, ce degré vaut et non
puisque
n'est que de degré
sur
!
Pour le prouver, considère la tour d'extensions:
La première est de degré puisque
est irréductible sur
La seconde est de degré inférieur ou égal à
puisque
est irréductible sur
.
Elle ne peut pas par ailleurs être de degré 1, sinon serait dans
et on obtiendrait une contradiction avec le théorème de la base télescopique en considérant la tour d'extensions
.
Elle est donc de degré .Enfin, la dernière extension est de degré inférieur ou égal à
(puisque
est irréductible sur
), et n'est pas de degré
sinon
serait réel.
Bonjour Tigweg, merci de m'avoir repondu !
En fait c'est bien 18 dans mon exo, mais 12 dans celui que j'ai écrit , car j'ai fait une erreur de frappe, c'est , je suis allée trop vite! mais peu importe à la limite , le plus important c'est la méthode et la redaction ^^
Donc pour la rédaction,
1/ j'écris le polynôme décomposé en facteurs de degré 1
2/ j'écris la tour d'extensions
3/ puis je conclus avec l'irréductibilité des polynômes annulateurs pour chacun des éléments.
Donc pour le deuxième je décompose le polynôme donc le corps de décomposition est (
,racine 5ème de 2) où racine 5ème de l'unité
on écrit la tour d'extensions:
- (racine 5ème de 2) - ()
La première est de degré 5 car est le polynôme annulateur de cet élément , et qu'il est irréducible sur
, puis la deuxième extension est de degré (5) = 4 et n'appartient pas à (racine 5 ème de 2 ) car est un nombre complexe.
On en déduit donc que l'extension est de degré 4x5 = 20 donc le groupe de Galois à 20 éléments
Si l'on voudrait le décrire, ies éléments de ce groupe de Galois serait entièrement déterminés par les images de racine 5ème de 2 et par
image de 
{,²,...,^4 }
et si on note 
la racine 5ème de 2:
image de { , , ...,
^4 }
c'est ça ? La rédaction est assez détaillée ?
Pour le résoluble je ne vois toujours pas.
Merci d'avance
Mais avec plaisir, Melle Papillon! 
Donc pour la rédaction,
1/ j'écris le polynôme décomposé en facteurs de degré 1
2/ j'écris la tour d'extensions
3/ puis je conclus avec l'irréductibilité des polynômes annulateurs pour chacun des éléments.
-> Oui, ça devrait convenir!
Donc pour le deuxième...
-> Pour le deuxième, je laisse humblement ma place, je n'ai fait qu'un semestre de théorie de Galois dans ma vie, et ça remonte à plus de 10 ans!
PS: en LaTeX comment fait on le , et les racines nième ? Merci !
-> Pour
Tu as aussi un guide des commandes Latex utilisées sur le forum:
[lien] (c'est l'onglet Lol je recommence: \mathbb Q pour , et \sqrt[n]x pour la racine
ème de
.
(Evidemment, la même commande régit les autres ensembles mathématiques, et tu peux même en inventer, par exemple!
)
Merci Tigweg... Effectivement je n'avais pas vu ce super lien!
Je comprends pour Galois... ça n'est pas vraiment instinctif au premier abord... Merci en tout cas pour l'aide ^^
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