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Pour les élèves du brevet bien réfléchir
) On considère un cercle (C) de centre O,de rayon R et de diamètre [AB].
On désigne par(D) la tangente en A à (C), et par M un point quelconque de (D).
De M,on mène l'autre tangente (ME) qui coupe (AB) en F, avec E le point de tangence .
On trace la droite (OE) qui coupe (D) en G et on désigne par S le projeté orthogonal de O sur (GF).
10)Faire une figure
20)Démontrer qui le triangle AME est isocèle et que (MO) est la médiatrice de (AE).
30) a)Démontrer que O est l'orthocentre du triangle GMF.
b)En déduire que les trois points M,O,S sont alignés.
40) Démontrer que le triangle GMF est isocèle et qu'il est semblable au triangle AME.
50)On suppose maintenant que le point M se déplace sur la tangente (D)et on désigne par I le milieu de [AE].Trouver le lieu géométrique de I.
60)On suppose dans cette question que AME=600.
a)Calculer la longueur AM en fonction de R.
b)Calculer l'aire du triangle AME.
bonjour Asquimo
2) les triangles rectangles OAM et OEM sont égaux car ils ont l'hypoténuse OM commune et les côtés OA et OE sont égaux; donc MA = ME; O et M sont deux points de la médiatrice de [AE] et (OM) est la médiatrice de ce segment
3) GE et FA sont deux hauteurs du triangle GFM; MOS est la troisième hauteur
4) les triangles MSG et MSF sont égaux car ils ont un côté commun MS adjacent à deux angles égaux chacun à chacun : les angles GSM et FSM sont droits et les angles SMG et SMF sont égaux de par l'égalité des triangles OAM et OEM
donc MG = MF
MAE est aussi isocèle en M (égalité des triangles OAM et OEM); il est semblable au triangle isocèle MGF car il a le même angle au sommet en M
5) E parcourt le cercle à l'exception du point limite B
AI/AE = AO/AB = 1/2; OI est parallèle à BE; AEB est droit (il intercepte le diamètre AB) donc AIO est droit (les angles AIO et AEB sont égaux comme correspondants dans les parallèles (IO) et (EB) et la sécante (AE)
le lieu géométrique de I est le cercle de diamètre AO, à l'exception du point limite O
6) angle OMA = angle OME = 30°
OMA est la moitié d'un triangle équilatéral dont la hauteur est MA et le côté 2r
MA² = 4r²-r² = 3r²; MA = 
3r
le triangle AME est équilatéral (isocèle à l'angle au sommet de 60°)
le carré de sa hauteur est 3r² - 3r²/4 = 9r²/4; sa hauteur est 3r/2
son aire est (3r *3r/2)/2 = 3*3r²/4
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