Salut

Si t'es sur un préhilbertien réel, t'as un produit scalaire. Et là, t'es en train de chercher la distance de A au sous-espace des matrices symétriques. Bah, suffit de projeter...

Selon moi faut trouver b_i,j tel que (a_i,j-b_i,j)²+(a_j,i-b_i,j)² soit le plus petit possible.
En dérivant ça doit se faire, ensuite ton inf ce sera la somme des b_i,j pour i<j.

je dis ça à vu de nez, à vérifier.

bonsoir 1 Schumi 1 !
merci d'avoir répondu !
Oui, j'imagine qu'il doit falloir projeter mais je bloque quand même.
Bon...on appelle p(A) le projeté orthogonal de A sur S .
On veut avoir || p(A)-A || = (p(A)-A | p(A)-A )   (je note | le produit scalaire )
                           = - (p(A)-A | A)
mais comment de là avoir l'expression donnée? et comment continuer?

bonsoir à toi aussi cacaboudin !!

pas vu la réponse de Schumi avant de poster, à ta place je suivrai plutôt son conseil ^^

Tu peux m'aider Schumi?

Bah, faut mettre la main dans le cambouie là: faut pas espérer s'en sortir sans expliciter p, la projection orthogonal sur S. Pour ça, ben... on bourrine tout simplement.

Mon idée c'était :

inf{(a_i,j-m_i,j)²; M=(m_i,j)S} = inf{(a_i,j-b_i,j)²; b_i,j=b_j,i} = _i<jmin_b(i,j)((a_i,j-b_i,j)²+(a_j,i-b_i,j)²)

Les m_i,j c'est la même chose que les b_i,j, je sais pas pourquoi j'ai changé.
Quand je dis "ensuite ton inf ce sera la somme des b_i,j pour i<j", c'est n'importe quoi ^^

On peut aussi le voir comme ça, et là, c'est réglé en 3 lignes. Bien joué, j'avais pas vu ça.

Désolée, je viens de remarquer que vous m'aviez encore répondu.
a cacaboudin: mais en faisant ça, on ne fait pas intervenir les a_i,i ; si? Et comment passe tu de l'inf à une somme de min? Et comment conclure?

Si, il a oublié de considérer les a_(i,i) mais c'est pas dramatique; l'idée essentielle est là. Sinon pour l'histoire du min, tu peux dire que l'inf est atteint (vu que c'est la distance à un sous-espace) et ainsi tu peux passer aux min à l'int de la somme. Après, tu cherches les b_(i,j) qui rendent chaque terme de ladite somme minimale et c'est réglé.

Heu non je ne les ai pas oublié, simplement tu auras : min_m(i,i)(a_i,i-m_i,i)² = 0
Donc les a_i,i disparaissent de la somme.

mais pourquoi est ce que le min de la somme est égal à la somme des min??

Parce que les min sont positifs.

alors on arrive à

_i<j,kmin _b[sub]i,j;_b[sub]k[/sub](a_i,j-b^i,j)²+(a_j,i-b_i,j)²+(a_i,i-b_i,i)²)

mais de la comment fais tu pour faire sortir les a_i,i de la parenthèse?

(desolée c'est pas net, mais j'ai du mal...et au passage, c'est vraiment gentil de répondre aussi vite; merci beaucoup)

bon je laisse tomber...de toutes façons, je ne vois pas comment trouver les b, quels que soient leurs indices

Pour trouver les b_i,j, tu dérive f : b_i,j(a_i,j-b_i,j)²+(a_j,i-b_i,j)², la dérivée s'annule au minimum de f, tu as donc ton b_i,j qui minimise (a_i,j-b_i,j)²+(a_j,i-b_i,j)².

oui bien sûr c'est logique (je suis tellement creuvée que je n'ai même pas lidée d'introduire une fonction! )
très jolie méthode! encore merci!

Bonsoir ;

est euclidien pour son produit scalaire canonique défini par

On vérifie facilement que les deux sous espaces :

et sont supplémentaires orthogonaux

et que pour toute matrice on a

ainsi l'inf demandé n'étant autre que le carré de la distance de à on a :

_{sauf erreur bien entendu}

Bonjour! je viens de voir que vous avez répondu à ce topic!
Merci beaucoup! c'est très clair^^
Pourriez vous s'il vous plait m'aider dans le topic: équation différentielle et développement en séries entières?
Merci d'avance