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Prepa ECS Polynômes
Bonjour,
J'ai un DM de maths pour demain, et je bloque sur un exercice.
Soit P(X)= X^7-5X^6+8X^5-4X^4-4X^3+8X^2-5X+1
1. Vérifier que 1 et -1 sont racines de P(X). Préciser leurs multiplicités respectives 
et 
.
=> J'ai vérifié que P(1)=0 et P(-1)=0
J'ai trouvé que 1 était racine d'ordre exactement 2 de P et -1 racine d'ordre exactement 1 de P.
2. En déduire une première factorisation de P(X)= (X-1)^ . (X+1)^ . Q(X) , où Q(X) est un polynôme à déterminer.
=> J'ai essayé l'algorithme de Horner, mais je n'arrive pas à trouver!
Merci d'avance de votre réponse.
bonsoir,
tu n'as pas besoin de l algorithme de horner tu sais que 1 est racine d ordre 2 et -1 d ordre 1 ( je n ai pas verifie ) donc ton polynôme est divisible par A(X) =(X+1)(X-1)^2 il te "suffit" d effectuer la division de P par A pour trouver Q(X). Mais tu peux déjà dire que =2 et =1 sauf erreur
Merci de votre réponse, j'ai donc fait la division du polynôme P par X^3 - X^2 - X + 1 et je trouve un reste nul et Q(X)= X^4 -4X^3 + 5X² - 4X + 1.
La question suivante est: Vérifier que z (qui appartient aux complexes non nuls) est racine de Q(X) si et seulement si Z= z+1/z est racine d'une équation du second degré à préciser.
Comment faire pour trouver cette équation du second degré?
Je te fais confiance pour ta division supposons z racine de P donc P(z) =0 et supposons comme z complexe z différent de 1 et -1 donc finalement z annule Q.
Q(z)=0
z4 - 4z3 + 5z2 - 4z + z =0
maintenant tu divise tout par z^2 et tu te retrouve avec z^2 - 4z + 5 - 4/z +1/z^2
et c est équation c est tout simplement Z2 - 4Z + 3
réciproquement si Z solution de X2 - 4X +3 z est racine de Q donc de P.
sauf erreur bien étendu.
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