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preuve de cauchy

Posté par
nana69 10-09-09 à 17:36

bonjour! je suis en premiere année de classe prépa et j'ai un exercice qui me perturbe parce que j'y bloque énormément! J'espère que vous allez m'aider ! alors voilà:
pour n* on note P(n) la proposition a1,....,an>0,(a1a2...an)^(1/n)((a1+a2+...+an)/n)

1/démontrer P(2) ça c'est fait
Ensuite on me demande d'en déduire P(4) et j'y arrive pas du tout!

merci d'avance

Posté par
Arkhnorre : preuve de cauchy 10-09-09 à 17:42

Bonjour.

Exploite l'identité \left(a_1a_2a_3a_4\right)^{\frac1 4} = \left(\left(a_1a_2\right)^{\frac1 2}\left(a_3a_4\right)^{\frac1 2}\right)^{\frac1 2}, et utilise la propriété P(2) à plusieurs reprises.

Posté par
girdavre : preuve de cauchy 10-09-09 à 17:43

Bonjour.
Alors tu as montré que \sqrt{a_1a_2}\leq \frac{a_1+a_2}2 donc
\(a_1a_2a_3a_4\)^{\fr 14}=\(a_1a_2\)^{\fr 12.\fr12}\(a_3a_4\)^{\fr 12.\fr12}\leq \\ \(\fr{a_1+a_2}2\)^{\fr 12}\(\fr{a_3+a_4}2\)^{\fr 12}\leq ce qu'il faut d'après la propriété.

Posté par
nana69re : preuve de cauchy 10-09-09 à 17:44

merci pour votre reponse rapide! mais j'ai essayer d'exploiter cette identité mais j'y arrive vraiment pas! j'arrive pas à utiliser P(2) pour donner P(4)

Posté par
nana69re : preuve de cauchy 10-09-09 à 17:51

Bonjour girdav, merci pour votre explication mais je vois vraiment pas comment on peut arriver au fait que ce soit inferieur à (a1+a2+a3+a4)/4

Posté par
Arkhnorre : preuve de cauchy 10-09-09 à 17:58

La propriété P(2) appliquée aux valeurs montre que l'on a \left(a_1a_2\right)^{\frac1 2} \left(a_3a_4\right)^{\frac1 2} \le \frac{\left(a_1a_2\right)^{\frac1 2} + \left(a_3a_4\right)^{\frac1 2}}{2}.

En ré-appliquant la propriété P(2) à chaque terme de numérateur, on obtient le résultat.

Posté par
Arkhnorre : preuve de cauchy 10-09-09 à 17:59

Je reprend mon message précédent :

La propriété P(2) montre que l'on a \left(\left(a_1a_2\right)^{\frac1 2} \left(a_3a_4\right)^{\frac1 2}\right)^{\frac1 2} \le \frac{\left(a_1a_2\right)^{\frac1 2} + \left(a_3a_4\right)^{\frac1 2}}{2}

Posté par
girdavre : preuve de cauchy 10-09-09 à 18:14

On a ensuite \(\fr{a_1+a_2}2\)^{\fr 12}\(\fr{a_3+a_4}2\)^{\fr 12} = \(\(\fr{a_1+a_2}2\)\(\fr{a_3+a_4}2\)\)^{\fr 12} \leq \frac 12.\(\fr{a_1+a_2}2+\fr{a_3+a_4}2\)

Posté par
Arkhnorre : preuve de cauchy 10-09-09 à 18:17

girdav : on ne procède pas de la même façon, j'ai d'abord utilisé la propriété P(2) avec la racine globale, alors que tu l'utilise en premier pour les racines intermédiaires.
Les deux méthodes marchent, mais les posts croisés risquent de perturber nana69. ^^

Posté par
nana69re : preuve de cauchy 11-09-09 à 19:04

merci bcp! j'ai finalement compris!

mais je rencontre un problème ensuite, ils me demandent de démontrer par récurrence que P(2^k) est vraie pour tout appartenant a N
Je bloque pour montrer que P(2^k+1) est vraie
merci d'avance pour votre aide

Posté par
girdavre : preuve de cauchy 11-09-09 à 19:08

Ce ne serait pas plutôt P\(2^{k+1}\)?

Posté par
nana69re : preuve de cauchy 11-09-09 à 19:08

si c'est cela

Posté par
nana69re : preuve de cauchy 11-09-09 à 19:18

quelqu'un pourrait me guider svp....

Posté par
girdavre : preuve de cauchy 11-09-09 à 19:26

On a 3$\(a_1\cdots a_{2^{n+1}}\)^{\fr 1{2^{n+1}}}=\sqrt{\(a_1\cdots a_{2^n}\)^{\fr 1{2^n}}\(a_{2^n+1}\cdots a_{2^{n+1}}\)^{\fr 1{2^n}}} \leq \frac{\(a_1\cdots a_{2^n}\)^{\fr 1{2^n}}+\(a_{2^n+1}\cdots a_{2^{n+1}}\)^{\fr 1{2^n}}}2 d'après P(2), puis c'est là qu'intervient P(2^n).
Sauf erreur de frappe ou autre.

Posté par
nana69re : preuve de cauchy 11-09-09 à 19:38

MERCI girdav mais escusez moi de vous dérangez je ne comprends vraiment pas d'où vous avez sortis les quantités sous la racine.

Posté par
girdavre : preuve de cauchy 11-09-09 à 19:40

On a un produit de 2^{n+1} = 2.2^n facteurs, donc je coupe le produit en deux.
De plus, X^{\fr 1{2^{n+1}} =X^{\fr 1{2^n}.\fr 12} =\sqrt{X^{\fr 1{2^n}} pour X\geq 0.

Posté par
nana69re : preuve de cauchy 11-09-09 à 19:42

oui ca j'ai compris mais c'est plutot ce que vous mettez entre parenthése, le facteur

Posté par
nana69re : preuve de cauchy 11-09-09 à 19:53

ah c'est bon merci j'ai compri

Posté par
nana69re : preuve de cauchy 11-09-09 à 20:50

escusez moi de vous deranger une nouvelle fois mais je n'arrive pas à comprendre le sens de la question suivante, est-ce que vous pouriez m'éclairer svp:
soit n* on suppose que n n'est pas une puissance de 2 et on prend k tel que n<2^k Soient a1,....an >0 . On pose A= (a1 +....+an)/n et on définit i = ai si i {1,...,n} et i = A si i {n+1,...,2^k} en appliquant P(2^k) démontrer P(n)
Je ne comprends pas la définition de i
merci d'avance

Posté par
girdavre : preuve de cauchy 11-09-09 à 20:56

En fait on le fixe égal à une constante A si jamais son indice est plus grand que n.
Dans la démonstration de P(n) tu sera obligée de couper le produit en deux: il y aura n facteurs dans la première partie et les autres dans l'autre.

Posté par
nana69re : preuve de cauchy 11-09-09 à 20:58

donc je ne peux pas partir de A mais je dois partir de P(2^k)?

Posté par
girdavre : preuve de cauchy 11-09-09 à 21:18

Tu dois écrire 5$\alpha_1\cdots \alpha_{2^k} = \underbrace{\alpha_1\cdots \alpha_n}_{a_1\cdots a_n} \underbrace{\alpha_{n+1}\cdots\alpha_{2^k}}_{A\cdots A}

Posté par
nana69re : preuve de cauchy 11-09-09 à 21:37

je comprends pas où vous voulez en venir :$

Posté par
girdavre : preuve de cauchy 11-09-09 à 21:49

Je me sers de la définition des \alpha_i. En appliquant P(2k), il vient:
\(\alpha_1\cdots\alpha_{2^k}\) ^{\fr 1{2^k}} \leq \frac{a_1+\cdots+a_n+\(2^k-n\)A}{2^k}

Posté par
nana69re : preuve de cauchy 12-09-09 à 06:59

Dacord, mais une chose me derange, n est strictement inferieur a 2^k donc je vois pas comment je peux le faire apparaitre a la place de 2^k et obtenir ainsi P(n).  Merci pour votre aide, desolé je suis difficile à comprendre.

Posté par
girdavre : preuve de cauchy 12-09-09 à 09:18

Il faut se servir de l

Posté par
girdavre : preuve de cauchy 12-09-09 à 09:19

Il faut se servie de la définition de A pour arranger le membre de droite.

Posté par
nana69re : preuve de cauchy 12-09-09 à 09:40

oui le membre de droite ne pose pas de problème c'est plutôt le membre de gauche avec la puissance

Posté par
girdavre : preuve de cauchy 12-09-09 à 10:06

Il faut bien le mettre à la puissance \fr 1{2^k} car on applique P\(2^k\).

Posté par
nana69re : preuve de cauchy 12-09-09 à 10:12

je m'en sors pas quand j'applique la puissance


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