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Preuve inversibilité Matrice de Vandermonde
Bonjour à tous,
J'ai un exercice à résoudre dans lequel je dois démontré l'inversibilité de la matrice de Vandermonde à condition que tous les noeuds x_i soient tous distincts. Je dois utiliser les proprités des racines des polynômes autant que possible.
Je n'y arrive pas...
Quelqu'un a une idée pour m'aider à commancer ?
J'arrive à voir que deux noeuds identiques impliquent deux lignes identiques dans la matrice et donc un determinant de 0. Or, cela démontre que dans ce cas elle ne sera pas inversible, mais comment prouver le contraire ?
Bonjour,
On démontre assez facimement que le déterminant d'une matrice de Vandermonde est :
det(A) = 
1
i<jn(xj-xi)
Voir par exemple ici : 
Donc le déterminant est 
0 si et seulement si les xi sont distincts deux à deux.
Or une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est 0
Donc la matrice est inversible si et seulement si les xi sont distincts deux à deux.
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