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Primitive de 1/(ax²+bx+c)

Posté par
Francois17 14-03-10 à 19:35

salut à tous !
Je cherchais à savoir comment trouver une primitive de 1/(ax²+bx+c)... (avec Delta <0)
Sur wikipédia, c'est plutôt mal expliqué...
J'ai trouvé cela comme explication :
On pose u = (2ax+b)/(Rac(D))     (où Rac(D) = racine de Delta)
Cela revient à intégrer (4a)/D * 1/(1+u²)       (c'est là que je ne comprends pas le passage...)
Or (Arctan)' = 1/(1+x²)
Donc en intégrant on obtient :
2/Rac(D) * arctan (u).

si quelqu'un pouvait m'expliquer le passage de 1/(ax²+bx+c) à 4a)/D * 1/(1+u²)...

Merci d'avance

Posté par
raymond Correcteurre : Primitive de 1/(ax²+bx+c) 14-03-10 à 19:41

Bonsoir.

On considère ax² + bx + c, a non nul et < 0

La forme canonique donnera une expression du type :

\textrm a(x+\fra{b}{2a})^2 + U^2

L'expression s'écrit :

\textrm \fra{1}{a}\fra{1}{(x+\fra{b}{2a})^2 + V^2}

Intègre en Arctangente.

Posté par
Francois17re : Primitive de 1/(ax²+bx+c) 15-03-10 à 19:24

Merci pour le début en tout cas
Mais je n'arrive pas à l'intégrer... Quelle est la formule de l'intégration grâce à arctan ? Car c'est bien là mon problème...
Merci d'avance

Posté par
Francois17Primitive 1/(ax²+bx+c) 15-03-10 à 19:59

Bonsoir,
Je reposte un problème en partie résolu, mais dont je n'arrive pas à trouver la conclusion...

Primitive de 1/(ax²+bx+c)

Mon problème est de savoir comment intégrer la dernière formule grâce à Arctangente...

(il s'agit de 1/ [ (x+b/2a)² + (rac(Delta)/2a)²)

Merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par
olive_68re : Primitive de 1/(ax²+bx+c) 15-03-10 à 20:03

Salut

Avant de commencer, si on met le dénominateur sous forme canonique on trouve qu'il vaut (pour 3$a\neq 0) : 3$a\(x+\fr{b}{2a}\)^2-\(\fr{b^2-4ac}{4a}\).

On remarque que si la quantité 3$b^2-4ac est positive alors il le dénominateur se factorise dans 3$\bb{R} en produit de facteurs de degré 1 et donc on peut décomposer la fraction en élément simple.

En faisant les calcules on trouve que 3$\Bigint \ \fr{1}{ax^2+bx+c} \ \text{d}x \ = \ \fr{\ell n\|\fr{2ax+b-\sqrt{\Delta}}{2ax+b+\sqrt{\Delta}}\|}{\sqrt{\Delta}}+C \ \ \ C\in \bb{R.

Dans le cas ou la la quantité 3$b^2-4ac est négative alors on ne peut pas factoriser, on peut donc sentir qu'on obtiendra de l'arctangente après avoir intégré. On note 3$\Delta^{\prime}=-\Delta \ (>0)

On se place dans ce cas, on a donc 3$ax^2+bx+c=a\(x+\fr{b}{2a}\)^2+\(\fr{\Delta^{\prime}}{4a}\)=\fr{\Delta^{\prime}}{4a}\(\fr{(2a^2)}{\Delta^{\prime}}\(\fr{2ax+b}{2a}\)^2+1\)=\fr{\Delta^{\prime}}{4a}\(\fr{1}{\Delta^{\prime}}(2ax+b)^2+1\)=\fr{\Delta^{\prime}}{4a}\(\(\fr{2ax+b}{\sqrt{\Delta^{\prime}}}\)^2+1\), soit avec les notations de Wiki 3$\fr{\Delta^{\prime}}{4a}\(u^2+1\)

Comme on intègre par rapport à 3$u, il faut changer l'opérateur différentielle, on a 3$\text{d}u=\fr{2a}{\sqrt{\Delta^{\prime}}\text{d}x

De plus, une primitive de 3$\fr{1}{1+u^2} est 3$\arctan(u).

On en déduis que les primitives de cette fraction dans ce cas sont 3$\fr{2}{\sqrt{\Delta^{\prime}}}\arctan\(\fr{2ax+b}{\sqrt{\Delta^{\prime}}}\)

Voilà, j'espère que j'ai pu t'aider à comprendre

Posté par
Francois17re : Primitive 1/(ax²+bx+c) 15-03-10 à 20:05

On m'a résolu le problème, désolé

*** message déplacé ***

Posté par
Francois17re : Primitive de 1/(ax²+bx+c) 15-03-10 à 20:06

Super merci, là j'ai beaucoup mieux compris le cheminement, et il est vrai que je manquais de bases pour arriver au résultat... Merci !

Posté par
olive_68re : Primitive de 1/(ax²+bx+c) 15-03-10 à 20:06

Pour la dernière expression je voulais écrire 3$\fr{2}{\sqrt{\Delta^{\prime}}}\arctan\(\fr{2ax+b}{\sqrt{\Delta^{\prime}}}\) +C^{\prime} \ \ C\in \bb{R}

Posté par
olive_68re : Primitive de 1/(ax²+bx+c) 15-03-10 à 20:08

Et le 3$\text{d}x est au numérateur, c'est 3$\text{d}u=\fr{2a}{\sqrt{\Delta^{\prime}}}\text{d}x

Ah bientôt


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