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probabilité & suites
Bonjour 
Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.
La probabilité que la première cible soit atteinte est 1/2.
Lorsqu'une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est 3/4.
Lorsqu'une cible n'est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est 1/2.
On note, pour tout entier naturel n non nul:
An l'événement "la n-ième cible est atteinte"
A- (A barre, l'évènement contraire de A) l'évènement "la n-ième cible n'est pas atteinte"
an la probabilité de l'évènement An
bn la probabilité de l'évènement A- (A barre, l'évènement contraire de A)
1) donner a1 et b1 puis a2 et b2.
j'y suis arrivée,j'ai fait un arbre et j'ai trouvé:
a1=1/2 b1=1/2 a2=5/8 b2=3/8
2) Montrer que pour tout n appartenant à N, n>= 1:
an+1= (3/4)an + (1/2)bn puis a(n+1)= (1/4)an+(1/2)
-> Et là je bloque ...
j'ai fait:
P(A(n+1))=P(An)*P(An)(A(n+1))+P(A-n)(A(n+1))
mais après je ne vois pas comment trouvé ce qu'il faut montrer car je ne comprends pas comment on peut arriver à garder les an et les bn dans l'expression...
Merci de m'expliquer
Bonjour,
OK pour les réponses à la question 1)
2)
la cible (n+1)est atteinte avec la probabilité 3/4 ,si la cible n a été atteinte avec la probabilité an OU avec la probabilité 1/2 ,si la cible n n'a pas été atteint avec la probabilité bn
or
la cible (n+1)est atteinte avec la probabilité 3/4 ,si la cible n a été atteinte avec la probabilité an OU avec la probabilité 1/2 ,si la cible n n'a pas été atteint avec la probabilité bn
Euh.. j'ai pas trop compris ...
vous en venez directement à cette expression? sans calculs intermédiaire?
OUI puisque dans l'énoncé on a:
Lorsqu'une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est 3/4.
Lorsqu'une cible n'est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est 1/2. t
il reste à mettre écrire le OU ce qui implique l'addition des deux probabilités
ton expression est incomplète :
P(A(n+1))=P(An)*P(An)(A(n+1))+....*P(A-n)(A(n+1))
avec les notations de l'énoncé
P(A(n+1)) se note a
P(An) se note a
P(An)(A(n+1))signifie probabilité de l'événement
P(A-n)(A(n+1))signifie probabilité de l''événement A
il manque un
oups
la probabilité de l'évènement A- (A barre, l'évènement contraire de A)
avec tes notations , j'ai oublié le - devant le n
il manque un
oui je me suis trompée en recopiant, on a :
P(A(n+1))=P(An)*P(An)(A(n+1))+P(A-n)*P(A-n)(A(n+1))
et donc on ne peut rien déduire à partir de ça?
avec les notations de l'énoncé
P(A(n+1)) se note a{n+1}
P(An) se note a{n}
j'en ai déduit de P(A(n+1))=P(An)*P(An)(A(n+1))+P(A-n)*P(A-n)(A(n+1))
que : a(n+1)=an*(an(3/4))+bn*(bn(1/2))
mais du coup les an et bn que j'ai mis en gras posent problèmes ..
avec les notations de l'énoncé tu obtiens l'expression =
P(A(n+1))=P(An)*P(An)(A(n+1))+P(A-n)*P(A-n)(A(n+1))
ha non c'est bon j'ai compris !!!!:
de: P(A(n+1))=P(An)*P(An)(A(n+1))+P(A-n)*P(A-n)(A(n+1))
on a:
P(An)=an
P(An)(A(n+1))= 3/4
P(A-n)=bn
P(A-n)(A(n+1))= 1/2
donc on a bien an+1= (3/4)an + (1/2)bn !
merci! 
et après on nous demande d'élaborer un algorithme qui donne le terme de rang n de cette suite et je ne vois pas comment faire
je ferais:
VARIABLES:
a est du type nombre
n est du type nombre
mais après je ne vois pas par où commencer :'(
après on nous demande d'élaborer un algorithme qui donne le terme de rang n de cette suite et je ne vois pas comment faire
c'est incomplet ...
pourtant la question est posée comme ça dans le livre et elle est à la suite des précédentes
----> élaborer un algorithme qui donne le terme de rang n de cette suite
élaborer un algorithme qui donne le terme de rang n de cette suite
il manque un renseignement ....
pour quelle valeur de la suite
il est évident que la valeur de a_n dépend de n
donc si on veut déterminer n il faut entrer a_n
salut
P(An+1)= P(An+1/An).P(An) + P(An+1/nonAn).P(nonAn)) = 3/4.P(An) + 1/2.P(nonAn)= 3/4.P(An) + 1/2.(1-P(An))=
1/4.P(An)+1/2 donc P(An+1)= 1/4.P(An) +1/2
donc pour élaborer un algorithme qui donne le terme de rang n de cette suite :
on utiliserais a(n+1)=(1/4)an+(1/2)
avec a1=(1/2)
on aurait:
VARIABLES:
a est du type nombre
n est du type nombre
DEBUT:
n prend la valeur 1
a prend la valeur (1/2)
Non je ne comprends pas la tactique ...
oui j'ai bien compris mais l'énoncé n'en dit pas plus!
on ne peut pas faire quelque chose avec:
a1=1/2 b1=1/2 a2=5/8 b2=3/8 ???? ( de la q1 )
on peut rentrer 1/2 pour an? on a alors n=1 pour ça?
et il faut declarer une variable an??
je ne vois pas comment faire..
j'ai trouvé dans une correction:
VARIABLES:
n est du type nombre
a est du type nombre
i est du type nombre
DEBUT:
lire n
a prend la valeur (1/2)
pour i allant de 2 à n
début pour
a prend la valeur (1/4)a+ (1/2) (il y a peu être une petite erreur ici car je ne suis pas arrivée à bien lire)
fin pour
afficher a
FIN
ok 
et je ne comprends pas pourquoi utiliser tant que ...
et d'où sort le "i"
et en fait "a" represente la suite?
ç'est pas très clair pour moi 
n a une valeur donnée
i=le rang du terme
pourquoi le tant que
tant que i n'est pas égale à n il faut bien faire le calcul....
chaque a représente le terme de la suite de rang i
n a une valeur donnée, c'est à dire?
et puisque i est le rang du terme, normalement ce n'est pas n le rang du terme? dans par exemple a1 c'est le rang 1 non? c'est quoi la différence entre le i et le n? le n on le connait alors que pas le i?
je ne comprends pas...
On te demande de trouver la valeur du terme de la suite au rang n en partant du rang 1
il faut rentrer la valeur du rang n et calculer successivement toutes les rangs jusqu'au rang n .
supprime la variable i et tu verras ce que fait dans ce cas l'algorithme ... et tu comprendras son rôle....
c'est bon merci beaucoup je pense avoir compris !
ensuite, plus loin dans l'exercice, on trouve an=(-1/6)*(1/4)^(n-1)+(2/3)
et on nous demande de déterminer le plus petit entier naturel n tel que an >= 0,6665
on doit donc faire:
(-1/6)*(1/4)^(n-1)+(2/3) >= 0,6665
(-1/6)*(1/4)^(n-1)>= 0,6665 -(2/3)
(1/4)^(n-1) >= [0,6665 -(2/3)]/ (-1/6)
mais là je ne vois pas comment enlever la puissance ...
avec i=n on ne peut pas faire de tant que donc on ne peut pas calculer la valeur jusqu'au rang n ?
avec i<=n
alors le calcul se refait en plus pour n+1 .
je me demande si tu as rentré l'algorithme sur Algobox...
an=(-1/6)*(1/4)^(n-1)+(2/3)
(1/4)^(n-1) >= [0,6665 -(2/3)]/ (-1/6)
\dfrac{1}{4^{n-1}\geq 0,001
soit avec les ln si tu les as vus en cours, soit avec la calculatrice , soit avec un algorithme..
Non mais c'est bon l'algorithme je l'ai compris !! merci encore
et les In je ne les ai pas vu, j'aimerais bien le faire avec ma calculette mais mon problème c'est pour isoler le n vu qu'il est dans une puissance .. :/
avec la calculatrice tu calcules (1/4) ^2 tu changes l'exposant pour trouver un résultat <ou égal à 0,001
n-1= l'exposant qui convient
d'où n=..........
(1/4)^(n-1) <= [0,6665 -(2/3)]/ (-1/6)
je peux partir de là ?
après je ne vois pas trop comment avoir le n ...
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