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Problème
Voilà je suis en plein rattrapage de mon second semestre en license Math Info et je regardais l'anal de l'année dernière et il y a un exercice qui me pose vraiment problème et je serais infiniment reconnaissant si quelqu'un pouvait m'aider alors je vous recopie l'exercice Merci d'avance
Soit l'application linéaire f : R3 dans R3 dont la matrice relativement aux bases canoniques est :
A = ( 1 1 2 )
( 1 -2 -1 )
(-1 0 -1 )
1) Donner une base de Ker f et une base de Im f. Preciser le rang de f.
2) Montrer que (1,0,1),(0,1,1),(0,0,1) est une base de R3.Donner la matrice de f dans cette base
Voila désolé de vous mettre l'exercice en entier mais je lutte vraiment et je n'y arrive pas Merci
Bonsoir.
1°) Pour trouver Ker(f), résous le système A.X = O.
Cela te donne :
Cela te donne x = -z et y = -z.
Donc, Ker(f) = {(x , x , -x)} = vec[(1,1,-1)]
Ainsi Ker(f) est la droite vectorielle engendrée par le vecteur (1,1,-1).
On en déduit immédiatement que dim(Im(f)) = 2, donc rg(f) = 2.
On sait que si e1 , e2 , e3 est la base canonique, Im(f) est engendrée par les
vecteurs : f(e1) , f(e2) , f(e3).
Ces vecteurs ont pour coordonnées les colonnes de A : C1 , C2 , C3.
On voit de suite que C3 - C1 = C2, donc que ces trois vecteurs colonnes sont liés
(ce qui est normal puisque rg(f) = 2.
On voit que, par contre, C1 et C2 sont indépendantes. Donc :
Im(f) = Vec[(1,1,-1) , (1,-2,0)]
2°) Tu peux chercher le déterminant de ces trois vecteurs proposés, tu le trouveras non nul, donc ces trois vecteurs
étant indépendants ils forment une base de R3.
Appelons a1 , a2 , a3 ces trois vecteurs. Tu as ici deux méthodes.
a) Chercher la matrice de passage P de (ei) à (ai), calculer P-1, puis calculer le
produit P-1.A.P
b) Chercher les images des ai et les exprimer en fonction des ai.
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