Dsl j'ai mal poster mon exercice

** lien vers l'énoncé effacé **

Edit Coll : si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum     

Soit...
E désigne un K-espace vectoriel de dimension finie n sup ou égal à 2
I désignera l'application identique de E, si (f,g) appartient a E, on pose f.g= f o g
On appelle ici, K-algèbre A tout K-espace vectoriel muni d'une loi notée interne associative distributive par rapport à l'addition et telle que :
pour tout (lambda,x,y) appartenant à K x A², lambda(x.y)= (lambdax).y = x.(lambday)
On notera que la loi . ne possède pas nécessairement d'unité.

Premiere Partie

A désigne une sous algèbre de L(E) de dimension n²-1. On se propose de montrer par l'absurde que I appartient à A, pour cela on suppose que I n'appartient pas à A.

Question I.1 : Montrer que L(E) = A somme directe K*I, en déduire : f appartient à L(E) et f² appartient à A implique F appartient à A
Question I.2 : Soit (e1,...en) base de E, pour tout (i,j) appartenant à [[1,n]], on note u^i,j l'unique endomorphisme de E vérifiant : pour tout k appartenant à [[1,n]], u^i,j(ek)= symbole de kronecker j,k * ei. Montrer que pour tout i appartenant à [[1,n]], u^i,i appartient à A puis conclure

Deuxième Partie

Soit A une sous amgèbre de L(E) de dimension 3
1. Soit f appartient à L(E)\K*I
a. Montrer l'existence d'un élément x de E tel que la famille (x,f(x)) est libre.
b. En déduire l'existence d'un élément (a,b) de K^2 tel que 0 a est matrice de f
                                                            1 b
c. Montrer que C(f)= { g appartient à L(E)/f.g=g.f} est une sous-algèbre de L(E) égale à C(f)= Vect(I,f) et donner sa dimension.
2.a Montrer que A admet une base de la forme (I,Phi,Psi) avec Phi.Psi différent de Psi.Phi.
b. Montrer alors l'existence de (lambda, mu, nu) appartenant à K^3 tel que Psi.Phi = lambda x Phi + muPsi+ nuI puis en raisonnant par l'absurde, que (Phi - mu x I).(Psi-lambda x I) =0
c. Montrer que A admet une base de la forme (I,Phi1,Psi1) avec Phi1.Psi1=0
Si on a une telle base, montrer que Phi1 et Psi1 sont de rang 1 et montrer que Im(Psi1) est stable à la fois par Phi1 et Psi1

  Pour la I:
         L(E) = A K.I (puisque I A.


Soit j {1,...,n} et soit f_j L(E) quivérifie f_j(e_j) = e_jet f_j(e_k) = 0 si k j.

  Il est clair que f_j² = f_j  et si g A , s K vérifient f_j = g + s.I alors s(s - 1) = 0 et g(g + (2s-2)g = 0.
         Si s = 1 on a : g² = 0 et 0 = f_j² - f_j = g et f = I ce qui n'est pas vrai ; donc s = 0 et f_j = g A.
Si f L(E) on a :   f =₁ⁿ f_j(e_j).f_j A.

Pour la 2 : Soit f L(E) qui ne soit pas une homothétie et supposons que pour tout x E {x , f(x)} ne soit pas libre.
  Soit x E \ Kerf (il y en a car f 0). On peut alors trouver un élément h(x) de K tel que f(x) = h(x).x (à voir).
  On pose alors h(x) = 0 si x Kerf de sorte que pour tout x de E on a : f(x) = h(x).x
  Si x E \ Kerf et s K* on a h(s.x) = h(x) (à voir)
  Si {x , y} est libre on a : h(x) = h(y) = h(x + y) à voir)
  Cela montre que h est constante donc que f est une homothétie ; C'est contradictoire .
Il esiste donx des x de E tels que {x , f(x)} soit libre.

A demain après m'avoir préciser ce qu signifie  

        En déduire l'existence d'un élément (a,b) de K^2 tel que 0 a est matrice de f
                                                            1 b

Je parle de la matrice dont la premiere colonne est 0 1 et la deuxieme est a b

Il y a des erreurs dans ce que je t'ai envoyé. Je pense que ce qui suit est correct :
Supposons I A.
    .Soit  j {1,...,n} soit f = f_j L(E) qui vérifie f(e_k) = _j,k.e_j. On  f = g + s.I où g A et s K. Comme f² = f on a 0 = g² + (2s-1)g + s(s-1)I donc g² + (2s-1)g = 0 et s(s-1) = 0.
    Supposons s 0 . Alors s = 1 , g² + g = 0 , fg = gf = 0 , (f - g)² = f² - g² = I donc (g + I) - g² = I d'où g = g² , 2g = 0 , g = 0 , f = I
    C'est contradictoire se sorte que s = 0 et f A.
      On a donc prouvé que {f₁,......,f_n} A donc I = f₁+......+f_n A .

L'hypothèse I A entrainant une contadiction (du type [P et nonP]) c'est que l'on a : I A

La suite Pour la 2 me parait correct

Concernant ma demande de précision :
   "Matrice de f n'existe pas" . C'est "Matrice de f dans telle base" qui existe.
   De plus la matrice de f dans une base de E est carrée d'ordre n  

Ouais je sais ca mais je nai fait que recopie mon enonce mais cest la matrice dans la base (x,f(x))