Salut

On suppose avec

on a donc :

mais d'après l'énoncé, on a donc :

notons que les  x_k  différents ne sert pas là .

Bonsoir,
Ben utilise l'hypothèse que f^m= la somme que tu a ecrite dans l'enoncé et tu devrais t'en tirer...
Les p_k ne seraient pas des projecteurs tels que leurs produit 2à2 soient nuls par hasard?

J'ai écrit une bêtise grosse comme une maison, la factorisation par p_k n'est bien sûr pas légitime, puisqu'en fait ce sont des p_i.

Salut tout le monde

Effectivement Rodrigo, ce serait pas mal que les p_k vérifient ça :d

Bonsoir,

merci a vous trois.
Vous avez raison car j'ai d'autre questions derriére dont une qui utilise notamment les projecteurs. Mais pour l'instant je travaille sur le debut de l'exercice donc je n'ai pas eu le temps de voir quels hypothéses m'étaient utiles pour mes questions.

Avec cet explication j'ai pu avancer j'étais bloqué sur la somme dans la somme et je n'ai tout simplement pas penser a factoriser à l'interieur.

La deuxieme somme n'est pas de 0 à k????
Car je trouve ca et ne comprend pas mon erreur.

de 1 à k
excusez moi

Je suis tout simplement bloqué à

P(f) = [k=1 à n} ( [i=1 à k] a_k* x_i* p_i)

Et la je ne vois pas du tout comment arrivé au résultat.

Reprends le calcul...il suffit juste d'inverser les deux sommes...

merci j'y avais pas pensé. mon calcul se résoud tous seul ensuite.

    J

   La deuxieme question  est de montrer que f est diago. Je pensais montrer que P etait scindé mais ma logique était fausse.

merci pour la premiere question.

Là les  x_i différents vont servir : tu prends un polynôme qui n'a comme racine que les x_i et touS . Alors  P(f)=0 d'après la question précédente, f annule un polynôme a racine simple donc il est diagonalisable (cours)

Ah oui, je partez dans quelque chose de trop compliqué.
Merci beaucoup.

Juste j'ai avancé quelques questions sur cet exo et à une d'elle on me demande de calculer p_k¤p_l pour k et l { 1 , .. , n }

Je l'avoue je séche sur cet question et je comprend pas commetn on peut calculer quelquechose qui a été fixé mais pas défini au début de l'exercice. Les hypothéses sont les mêmes que l'énoncé. Je vois qu'il faut traiter le cas ou k=l qui revient a avoir p_l² mais l'autre cas est plus compliqué pour moi.

Merci d'avance.

y a peut-être des réponses intermédiaires avant cette question ?

si tu prends un polynôme Q  nul en tous les x_k  sauf  x_i  et que tu utilises ta formule pour  Q  et son carré tu obtiens que  pi  est un projecteur. Ensuite tu peux montrer que la somme de p_i+p_j  est encore un projecteur et delà déduire  p_ipj=0 si   n'est pas  j.

Bonjour,

J'ai du refaire l'exo et j'ai essayé de reprendre la methode que vous m'avez expliqué mais je bloque sur l'explication quand on calcule Q et Q² je vois pas comment on obtient des projecteurs sur cette partie.

Pouvez vous m'aider svp?

Merci d'avance

Alors si  Q est nul en tout  xi  sauf en x1 tu as :
Q(f)= Q(x1)p1   mais tu as aussi  Q²(f)= Q²(x1)p1

or  Q²(f)= Q(f)°Q(f) et tu remplaces.

Merci beaucoup si j'ai bien compris, en calculant j'obtiens pi=pi*pi en simplifiant par Q²(xi)

Je montre par la somme que pi+pj reste un projecteur en posant (pi+pj)=(pi+pj)² car pi*pj et pj*pi sont nul car pi et pj sont des projecteurs. J'aimerais savoir si mon raisonnement est bon car utilisé pi*pj=0 reviens a utiliser le resultat et la je doute sur ma reponse.

Je pense avoir trouvé un autre raisonnement qui lui doit etre correct.
J'ai trouvé que p_i est un projecteur maintenant je suppose que la somme de deux projecteur est un projecteur ( cours)
Apres je pose i+j=(i+j)² car i+j est un projecteur et je sais aussi que i² = i et j² = j
donc j'ai i+j=i²+j²+i o j+j o i donc j'obtiens i o j + j o i = 0
ainsi j'arrive à 2(i o j) =0
donc (i o j) = 0

Sauf que la somme de deux projecteurs n'est pas un projecteur en général.

Pour le prouver ici tu dois changer de polynôme : prendre H  qui s'annule partout sauf en  xi  et  xj et même genre de manip qu'avant.

(notons que tu dois supposer que 2 n'est pas la caractéristique de ton corps pour la suite sinon ça coince)