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Problème avec les matrices
Bonjour, je suis en pleines révisions d'algèbre linéaire et j'espère que vous pourrez m'aider bien que j'ai un peu honte de mon message quand je vois le niveau de certains. Voici donc:
J'ai une matrice A:
1 2 3 4
0 1 -2 3
2 -1 0 1
Il faut trouver le rang, le noyau et l'image de la matrice.
Tout d'abord, le prof dit que le rang est inférieur ou égal à 3. Pourquoi ? Est-ce que c'est parce qu'il y a 3 lignes ?
Ensuite pour finalement trouver le rang, il calcule des déterminants. Il dit que le chiffre de la première colonne première ligne est 1 donc le rang est supérieur ou égal à 1. Ensuite déterminant de colonne 3,4 et ligne 1,2. Puis déterminant colonnes 2,3,4 et lignes 1,2,3.
Comment choisit-on les lignes et colonnes pour lesquelles il faut calculer le déterminant ?
Comment trouver la dimension de E ? On sait que E = R^4. La dimension de E est-elle donc égale à 4 ?
Et pour finir, j'ai une autre matrice:
-1 1 0 0
-1 0 1 0
-1 0 0 1
0 -1 1 0
0 -1 0 1
0 0 -1 1
Le prof entoure colonnes 2,3,4 et lignes 1,2,3 et dit que le rang de la matrice est supérieur ou égal à 3. Pourquoi ?
Ensuite il cherche le noyau (au moins un truc que j'ai compris) et on trouve noyau= vecteur colonne (1 1 1 1). La dimension du noyau =1. Là par contre pour la dimension, je ne comprends pas pourquoi. On aurait fait comment si il n'y avait pas eu que des "1" dans le vecteur ?
Bon voilà, c'est tout (pour aujourd'hui seulement, je le sens) eh bien merci à l'âme charitable qui me répondra s'il y en a une 
par définition rg(f) = ? (regarde ton cours) donc =<3
pas très clair d'entourer
par contre que représente chaque vecteur colonne ?
et si tu fais 2c3 +c2 +c4 tu trouves quoi (ci = colonnei)
intéressant pour le ker non ?
Bonsoir,
Tout d'abord, le prof dit que le rang est inférieur ou égal à 3. Pourquoi ? Est-ce que c'est parce qu'il y a 3 lignes ?
Oui, le nombre de ligne représente la dimension de l'espace d'arrivée et le nombre de colonne représente la dimension de l'espace de départ
Du coup Dim(E)=4
Le prof entoure colonnes 2,3,4 et lignes 1,2,3 et dit que le rang de la matrice est supérieur ou égal à 3. Pourquoi ?
Quand tu regardes les colonnes 2,3 et 4, tu vois que ces colonnes ne sont pas liés donc le rang est au moins égal à 3.
On peut effectuer le calcul du rang sur les lignes aussi...
Skops
Désolé mais je comprends pas bien ce que tu dis...
Oui, le nombre de ligne représente la dimension de l'espace d'arrivée et le nombre de colonne représente la dimension de l'espace de départ
Du coup Dim(E)=4
Moi, je parlais du rang et pas de la dimension.
Le rang est-il dépendant du nombre de lignes ? S'il ya 27 lignes, est-ce que le rang de la matrice < ou = 27?
Et est-ce que chaque fois que E=R^4, dim(E)=4 ?
ah ouais désolé je m'ai trompé avec les colonnes
donc sans intéret pour le ker
rg(f) =dim (im f) et imf
R^3 donc =<3
Skops avec son micro il en rate pas une: c'est un vrai microscope
ça c'est un scoop
Même si tu n'as pas encore étudié les déterminants, en extrayant de
les 3 dernières colonnes :
tu remarques les 3 premières lignes:
Ce système (matrice Identité!) est clairement libre, il est d'ordre 3, donc le rang est .
Sauf erreur.
Ensuite il cherche le noyau (au moins un truc que j'ai compris) et on trouve noyau= vecteur colonne (1 1 1 1). La dimension du noyau =1. Là par contre pour la dimension, je ne comprends pas pourquoi. On aurait fait comment si il n'y avait pas eu que des "1" dans le vecteur ?
Je ne comprends pas ta question
Ta question serait : quelle serait la dimension du ker si (1 1 1 1) aurait été (2,0,3,6) par exemple ?
Dans ce cas là, toujours 1
La dimension du ker et de im est le nombre d'élements de sa base
Donc le ker que tu as trouvé contient un élement et c'est une base (générateur et libre) donc sa dimension est 1
Skops
ah d'accord merci...mais comment sait-on qu'il contient un élément et que c'est une base ?
Et pour la première matrice, il dit que le chiffre de la 1ere ligne 1ere colonne est 1 donc différent de 0. Donc rang supérieur égal à 1. Après il calcule le déterminant de de colonne 3,4 et ligne 1,2. Il est différent de 0 donc le rang est supérieur égal à 2. Ensuite déterminant de colonnes 2,3,4 et lignes 1,2,3. Il est différent de 0 donc rang supérieur égal à 3.
Comment choisit-on les colonnes et lignes ? Faut-il d'abord prendre le tout premier chiffre ensuite la matrice carrée 2x2 ensuite 3x3 ? comme il le fait ?
Bah ton Im(f) contient seulement une colonne donc rg(f)=1 non ?
Pour le déterminant, je suis desolé mais je ne saurais te répondre 
Pour le rang supérieur à 1 : le rang est égal à 0 lorsqu'on à affaire à la matrice nulle ce qui n'est pas le cas ici
Skops
C'est bon, j'ai trouvé, merci! Mais encore un truc. Dans le théorème du rang, on a:
dim(Ker A)+ Rang (A) = dim (E)
dim (E) c'est quoi ? Le nombre de colonnes apparemment c'est ça nan ?
et la dimension d'une matrice ? Lol désolé promis c'est la dernière question mais maintenant que je sais ce qu'est le rang d'une matrice, je vois pas du tout ce qu'est la dimension d'une matrice
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