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Problème classe d'équivalence et ensemble quotient
bonjour, voici le problème qui m'est présenté:
On défini E = 
* la relation suivante:
(x,y)R(x',y')
3(x-x')=(y'-y)
1. Montrez que R est une relation d'équivalence (facile
2.Trouvez la classe d'équivalence d'un élément (a,b) de E et donnez une interprétation de cette classe d'équivalence.
Pour celui-là, je ne suis vraiment pas certain. Pour l'instant j'ai quelque chose qui ressemble à ça:
classe de (a,b) = {(c,d) 
* | 3(a-c) = (d-b)}
= {(c, 3a -3c +b), c }
3. Donnez l'ensemble quotient de E/R
Comme suis vraiment pas certain de ma réponse au numéro 2, je ne même pas par où commencer...
4. Déduire une partition P de E dont chaque élément contient un et un seul élément de D où D = {0} * .
Là je suis complèment perdu...
Quelqu'un peut-il m'aider à comprendre le problème, ainsi que la notion de classe et ensemble quotient en général, car là je suis complètement perdu et les explications de mon professeurs sont extrèmement floues. Il est du genre: "Tu ne comprend pas? D'accord je vais t'aider. Je vais te réexpliquer exactement le même exemple de la même façon! Est-ce que tu comprend maintenant?"
Merci de votre aide!
bonjour
pour la (2), cela ressemble à ce que tu dis...
classe de (a;b) = {(x;y) ; y = (3a+b)-3x , x }
j'écris cela comme ça car 
est le plan... et là on voit que la classe de (a;b) est la droite de pente (-3) passant par (a;b)
mm
pour le (3) : chacune de ces classes contient un point et un seul d'abscisse nulle : (0;3a+b) et un couple donné (0;y) appartient à une classe d'équivalence... et une seule (à montrer bien sûr)... donc l'ensemble quotient est identifiable à {0}
et pour le (4)... (je ne l'avais pas lu avant !)... j'y ai quasiment répondu dans la (3)... la partition en question correspond aux classes d'équivalences.
D'abord, pour visualiser une classe d'équivalence de , rien de tel qu'un repère orthonormal dans un plan !
La classe de (a,b) est donc l'ensemble des couples (x,y) tels que 3(x-a)=b-y, c'est à dire tels que :
3x+y=3a+b
Soit alors le point A de coordonnées (a;b) dans un repère orthonormal. Les couples (x,y) seront représentés par des points du plan de coordonnées (x;y)
Soit D(a,b) la droite d'équation 3x+y=3a+b. Elle passe à l'évidence par le point A. Un couple (x,y) appartient à la classe (a,b) si et seulement si le point (x;y) appartient à D(a,b). Donc la classe d'équivalence de (a,b) est l'ensemble des couples (x,y) où (x;y) sont les coordonnées des points de D(a,b) !
L'ensemble quotient est donc l'ensemble des droites du type 3x+y=K avec K réel.
Ben, je dirai plutôt que l'on a résolu le même problème donc que l'on a trouvé le même résultat, ce qui semble, tous comptes faits, assez normal ! 
Bonjour à toi !
merci tout le monde,
J'ai réussi à faire le numéro par moi-même finalement, j'ai demandé à mon professeur quel genre de réponse il s'attendait et il m'a répondu qu'il voulait quelque chose sur la forme :
classe de (a, b) = {x( , ) + ( , ), x}
bon ok il m'a casiment donné la réponse tout cuit dans le bec et je suis arrivé à
classe de (a, b) = { x(1 , -3} + ( 0, 3a + b), x }
D'après vos commentaires cela me semble très correct, et c'est assez facile à visualiser.
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