Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths spé AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau maths spé
Partager :

problème d’algèbre linéaire

Posté par
gabriellapotter 25-09-11 à 22:47

quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait à résoudre ce problème ?
    soit n un entier, n>=2. soit E un espace vectoriel de dimension n sur . soit f un endomorphisme de E dont le rang est égal à r. on suppose f0 et fof=0.
1°. monter que: 0 < r < n.
2°. monter que l'image de f est contenu dans le noyau de f. en déduire que : 2r n.
3°. soit f un sous-espace supplémentaire du noyau de f, c'est-à-dire que E = F Ker f
   a/ quelle est la dimension de F?
   b/ on suppose que 2r < n.
      soit une base de F. soit ' la famille des images par f des vecteurs de .
      i. monter que la famille 'est une famille libre
     ii. montrer qu'il existe une famille v de vecteurs du noyau de f telle que la famille 'V soit une base de E.
    iii. déterminer la matrice de f dans la base précédente.
   c/ que deviennent les résultats du 3)b) dans le cas où 2r=n.

j'ai fais la 2 eme question et j'ai trouvé que la dimension de F est égale au rang de f a l'aide du théorème du noyau
merci d'avance

Posté par
gabriellapotterune petite correction 25-09-11 à 22:52

pour l'enoncé on n2
pour la question b)ii
on a 'V
désolée pour ces erreurs
  

Posté par
carpediemre : problème d’algèbre linéaire 25-09-11 à 23:13

salut

1/

trivial par def de r = Im f

2/

f o f (x) = f[f(x)] = donc Im f Ker f

puis théorème du rang ...

Posté par
carpediemre : problème d’algèbre linéaire 25-09-11 à 23:16

soit u vecteur de B base de Falors f(u) <>0

applique f à une combinaison linéaire des vecteurs de B et utilise le fait que f est linéaire ....

Posté par
matovitchre : problème d’algèbre linéaire 25-09-11 à 23:56

Bonsoir gabriellapotter,

Bon, je ne sais pas trop ce que tu as fait, je vais donc essayer de tout traiter :

1) Tout d'abord 0\leq r \leq n. Si r=0 alors f=0 donc r\neq 0 et si r=n, f est un isomorphisme donc fof en est un aussi.
Absurde, ainsi 0<r<n.

2) fof=0 donc il est clair que le image de f est inclus dans le noyau de f. Or la dimension est croissante pour l'inclusion donc r\leq n-r
c'est à dire 2r\leq n.

3)a) Le théorème du rang donne Dim F = r.

b)i) Le théorème fondamental (alias théorème noyau-image) donne que la restriction de f à Vect(\mathcal{B}) et Vect(\mathcal{B'}) est un isomorphisme
(il suffit de montrer l'injectivité en observant le noyau)  donc \mathcal{B'} est une base de Im(f) elle est donc libre.

ii)\mathcal{B'} est inclus dans Im(f) et donc dans le noyau de f qui est un supplémentaire de F donc \mathcal{B}\cup\mathcal{B'} est libre de longueur 2r<n
il manque donc quelques vecteurs, qui ne sont pas dans F puisque \mathcal{B} en est une base dans dans Ker f (théorème de la base incomplète...)

iii)\begin{array}{cc} \\ \mathcal{B} & \mathcal{B}'\&V\\ \\ \mathcal{O}_{r,r}\\ \\ \mathbb{I}_{r,r} & O_{n,n-r}\\ \\ \mathcal{O}_{n-2r,r}\end{array}

c) On a juste plus besoin de V.

Sur ce bonne nuit.

Posté par
gabriellapotterre 26-09-11 à 19:34

merci

Posté par
jikatire : problème d’algèbre linéaire 26-09-11 à 23:33

s'il vous plait j'ai essayé de démontrer que la famille des images B' est une famille libre !! mais je me suis bloqué !! aidez moi svp

Posté par
jikatire : problème d’algèbre linéaire 26-09-11 à 23:47

s'il vous plait !! une réponse


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !