Bonjour,

La linéarité n'est pas ce que tu dis.
De toute façon f(x) n'a aucun sens ici, puisque f est une fonction de 3 variables !
Relis ton cours sur le sujet, et propose autre chose pour la linéarité.

Nicolas

salut

En effet ici ta fonction est definie sur R³ donc parler de f(x) n'a aucun sens!

Pour montrer la linearite tu peux commencer par poser que (x,y,z)=X par exemple.

Aprés tu reprends la definition de la linearite et tout s'enchaine sans grosses difficultées (f(aX)=af(X) et f(X+Y)=f(X)+f(Y) avec X et Y elements de R³) ...

En suivant le meme procedé tu peux determiner le noyau ( f(X)=(0,0) ) et l'image (f(X)=Z avec Z element de R²) ...

Ainsi de suite ....


//Sauf erreurs//

Snizer

Merci beaucoup à toi

Mon cours n'est pas très clair et je ne comprenais pas comment faire avec plusieurs inconnues

Merci

je crois que je n'ai pas tout a fait compris

on pose X = f(x,y,z)
puis la linéarité : f(aX) = af(X) = a.(2x+y+z , 2x+y) ?
Que dois je faire avec ça ?

et pour f(X+Y) = f(X)+f(Y), que dois-je prendre pour Y ?
Comment conclure après ?

Vous pouvez voir que je ne comprend pas grand'chose.

Aidez moi, c'est la 4ème fois que je passe cet examen et je n'ai toujours pas compris !!!

Merci d'avance

salut,

non en fait tu pose X=(x,y,z) et donc pour montrer f(aX)=af(X) avec: a Réel et X element de R³ tu procede comme suite:

f(aX)=f(a(x,y,z))=f(ax,ay,az)=(2ax+ay+az , 2ax+ay)=a(2x+y+z , 2x+y)=af(X)

voila

de même pour montrer f(X+Y)=f(X)+f(Y) avec X=(x,y,z) & Y=(x',y',z') quelconques .


//sauf erreurs//

snizer

mERCI

désolé de n'avoir pas compris tout de suite, mais c'est tellement con que je ne voyais pas ce qu'il fallait faire
si j'ai compris, pour le noyau, on résout : f(X) = (0,0)
d'où 2x+y+z = 0
     2x+y = 0
et on doit trouver le triplet (x,y,z) solution ?

Pour l'image : on fait f(X) = Z         (Z=(a,b), par e)
2x+y+z=a
2x+y=b

On trouve x,y,z en fonction de a et de b
Comme pour inversé une matrice, c'est ça ?

Si j'ai tout faux n'hésitez pas à ma corriger
Merci de ton aide très utile

voila j'ai fais les calculs

noyau : N=(-y,y,0)=y(-1,1,0)

inverse : f^(-1)=(0,b,a-b)

Est-ce que c'est bon ?
Je l'espère !!

pour la surjection ? et les matrices dans bases canoniques ?

SVP

Et reremerci d'avance

salut !

Pour le noyaux moi je trouve N=y(-1,2,0).
en effet  2x+y+z = 0  => z=0 & 2x+y=0 <=> x=-1/2 y d'où le résultat !
          2x+y   = 0                   (y(-1/2,1,0) <=> y(-1,2,0) colinearite)
Et comme la question est de determiner UN noyau tu peux prendre (-1,2,0).

Ensuite pour l'image je trouve la même chose que toi mais precise que tu l'a trouver pour x=0 (point particulier)


Verifie maintenant si ta fonction est injective (plus facile) puis si elle ne l'est pas tu peux deja en deduire qu'elle n'est pas bijective.Reste a montrer si elle est surjective (si ma memoire est bonne montrons qu'il existe un Z element de R ² tel que Z=f(X) )

Ensuite les bases canonique respectivement de R² et R ³ sont (e1,e2)[ avec e1=(1,0) et e2=(0,1) ]et (e1,e2,e3) [avec e1=(1,0,0) ...]

//sauf erreurs//

snizer

merci d'avoir vérifier mes calculs

j'ai du faire une erreur pour le noyau
tu dis que pour l'image, c'est un point particulier : pour le cas général, que faut-il faire ?
Mettre x à la place de 0 ?
En fait pour l'image, il fallait utiliser le théorème du rang, mais le rang donne la dimension de l'image ! Comment faire pour retrouver l'image ?

pour montrer qu'elle est injective, il faut montrer que :
si X différent de Y, on a f(X) différent de f(Y)
Je pense faire X - Y diff de 0, devrait entraîner f(X) - f(Y)=f(X-Y) {car applic. linéaire} diff. de 0
Or quand on l'écrit, c'est égal à zéro donc f n'est pas injective, et donc pas bijective

pour la surjection
Je n'ai pas tout compris, faut-il montrer que f est un espace vectoriel ?

Matrice :
bases canoniques de R² = (1 0)    de R³= (1 0 0)
                                    (0 1)                      (0 1 0)
                                                               (0 0 1)
Faut-il faire le produit entre la matrice de f : (2 1 1) ?
                                                 (2 1 0)
Si c'est ça, c'est impossible avec R²

Merci après ça, je crois que c'est bon

en fait on te demande UNE image (donc un cas paticulier par exemple x=0 ) car pour le cas general tu obtiens (x,b-2x,b+a) ... mais ceci apres refexion n'est pas diriger comme cela dans ton enoncé ! (regarde ce qui suit)

(Si mes souvenirs sont bon)

Le theoreme tu rang te dit que : comme f est une application lineaire de R³ dans R² alors:

              Dim R³=dim ker f + dim Im f=dim ker f +rg f=3 (apres tu en deduit que comme dim ker =1 alors dim im =2) donc avec cela tu sait que lespace image comporte une base de 2 vecteurs non colineaires.

Donc d'aprés ta fonction de base tu peux en deduire 2 vecteurs non colineaires tels que (en raisonnant matriciellement| | ):

|2x+y+z | = |2x+y| + |z| = 2x+y |1| + z |1| =vect((1,1),(1,0))
|2x+y   |   |2x+y|   |0|        |1|     |0|

ceci est donc ton sous espace vectoriel image de R² !

Je me suis aussi souvenue  que l'application linéaire f est injective si et seulement si Ker(f) = {0}( c a d que si le noyau est reduit a 0)donc ici ce n'est pas le cas pour tous y differents de zero.

désole pour mon manque de rigeur mais cela fait longtemps que je nutilise plus cela .En esperant etre le plus clair possible :p !

//sauf erreurs//

snizer

Je me suis planté mais il me demande le noyau et l'image de f
Je vois pas comment faire pour le cas général pour le noyau !

Pour l'injection, ça reviens a faire le calcul de mon précédent post ! Non ?

Merci de ton aide pour le rang !

La surjection ?
si tu sais !

Et la matrice dans les bases canoniques ? ma supposition est elle bonne ?

beh pour le noyau tu las fait , tu trouve un vecteur !donc dim =1 et apres tu fais comme je te dit dans le post avant!

pour linjection aussi c'est fait! par contre je crois (pas sure) que si limage par f de lespace de depart est egale a lespace d'arrive c'est donc une surjection , ce qui doit etre le cas ici il me semble!

Pour la matrice je ne sais pas trop car la decomposition dans la base canonique est naturelle.Je ne comprend pas trop la question du depart!Quelles sont les matrices?

//sauf erreurs//

snizer

ps: oui ta supposition est bonne ce que tu as ecrit sont bien les bases canoniques



//sauf erreurs//

snizer

Merci bien de m'aider

La dernière question est exectement :
Écrire la matrice de f dans les bases canoniques de R³ et de R²

Pour le noyau et l'image, on a donc trouvé le cas général !

Je crois que grâce à toi, je vais enfin réussir mon examen de maths
Merci beaucoup

Avec plaisir , de plus ca me permet de reviser ces choses la ...

En fait la matrice de f est la matrice comportant sur les colonnes les images par f de la base canonique ce qui te donne

1ere colonne f(1,0,0)=f(e1)
2eme colonne f(0,1,0)=f(e2)
3eme colonne f(0,0,1)=f(e3)

Et donc cela sera ta matrice de f dans les bases canoniques de R3 et de R2.

Bon courage pour ton exams

//sauf erreurs//


snizer

Je ne comprend pas tout à fait ce que je dois écrire pour la matrice !!

1ere colonne f(1,0,0)=f(e1)
2eme colonne f(0,1,0)=f(e2)
3eme colonne f(0,0,1)=f(e3)

Dois-je exactement recopier ceci ?

Ce qui reviens à écrire la matrice identité de R³ !

Est-ce exact ?

Bonjour

Il faut les calculer! Si f est celle du début:

f(1,0,0)=(2,2) et voilà ta première colonne.

" Il faut les calculer! "

Cela va de soi ^^ .

snizer

Apparemment pas pour super-titi

Ah ouais !!
j'avais pas compris

Tu sais moi et les maths ça fait 2 (voire plus !!!)

Merci de m'avoir aider
C'EST VRAIMENT

avec plaisir !
en esperant que tu es une bonne note par la suite

Bon courage pour les exams !!

//snizer