Soit E un espace vectoriel de dimension nie. Soient A et B des sous espaces vectoriel de E tels que dim(A) = dim(B), montrer que A et B admettent un supplimentaire commun.
Merci d'avance.

*** message déplacé ***

Bonjour quand même...

extrait de la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Pour de nombreuses raisons.

Pour mémoire, le multi-post consiste à reposer une même question dans un sujet différent , ou à poser des questions successives d'un même problème dans des sujets différents.

De même, une demande identique sur plusieurs sites sera considérée comme un multipost et la discussion pourra être fermée par un modérateur.

Etant donné tous les désagréments créés par le multi-post, le non-respect de cette règle entraînera votre exclusion temporaire ou définitive du forum !

Voici maintenant quelques raisons qui font que nous combattons avec autant d'ardeur le multi-post (et ses adeptes ) :

• La perte de temps pour les modérateurs qui consacrent leur temps bénévolement pour garantir la qualité des sujets et des échanges sur le forum.
• Le respect du travail des correcteurs qui consacrent leur temps bénévolement pour aider ceux qui sollicitent de l'aide.
• La lisibilité du forum de manière à ce qu'un sujet ayant déjà reçu de l'aide soit facilement identifié et qu'un sujet n'en ayant pas encore reçu puisse à son tour en recevoir.

Rappelez-vous une nouvelle fois la règle d'or du forum :
1 sujet créé = 1 problème

On peut toujours compléter une base de A par n-dim(A) éléments de E qui n'appartiennent pas à B. Le sous-espace que ceux-ci engendrent est un supplémentaire commun à A et à B.

salut

n'y aurait-il pas un pb si A et B sont eux-mêmes supplémentaires (avec dim(E)=n=2p et dim A=dimB=p)...

Bonjour carpediem

Non, pas de problème! la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'étant pas égale à tout l'espace, (sauf si l'un d'eux est déjà tout l'espace) on peut toujours choisir des éléments qui ne sont ni dans l'un ni dans l'autre! l'exemple type de ce que tu proposes:

A=R{0} B={0}R

On peut prendre comme supplémenetaire commun {(x,x)}

bonjour tout le monde
dit de manière "naïve" pour les tout juste sortis de terminale : dans l'espace des vecteurs du plan, la droite vectorielle dirigée par et celle dirigée par sont supplémentaires, et toutes les deux supplémentaires à la droite dirigée par

Bonjour lafol

bonjour Camélia
_{je me suis permis de "traduire" ton exemple, car pour les lycéens d'aujourd'hui qui n'ont pas eu les Bourbaki en biberon (loin s'en faut ...), les produits cartésiens ne parlent peut-être pas énormément}

>lafol pas de souci!

Bonjour à tous.

Camélia, il y a un problème dans ta démonstration.
Les  n-dim A vecteurs n'appartiennent pas à B. Mais rien ne prouve qu'une combinaison lineéaire de ces vecteurs n'appartient pas à B.

Prendre, par exemple, dans R^4 muni de sa base canonique (e1,e2,e3,e4)    A = Vect(e1,e2)   B=Vect(e1,e3+e4).
Si on choisit   C=Vect(e3,e4),  C est bien un supplémentaire de A, e3 et e4 n'appartiennent pas à B, mais C n'est pas un supplémentaire de B

>perroquet Tu as raison! Ma démonstration canonique (celle que j'ai eu au biberon, comme dit lafol) passait par l'isomorphisme des quotients E/A et E/B qui permet de relever une base... Comme les quotients ne sont plus à la mode, j'ai pensé contourner... Alors, comment le fais-tu?

Les démonstrations que je connais sont toutes compliquées.
Celle que je préfère consiste à construire une base de A+B

e_1, ...,e_p est une base de l'intersection de A et B
e_1,....,e_{p+q} est une base de A
e_1,....,e_p,e_{p+q+1},...e_{p+2q} est une base de B

On complète cette base avec f_1...f_r, de manière à obtenir une base de E.

On considère le sous-espace G de base
e_{p+1}+e_{p+q+1},...,e_{p+q}+e_{p+2q},f_1...f_r
C'est un supplémentaire commun à F et G

Ca marche! (mais c'est pas très beau...)

bonjour et merci à tous pour les révisions (les visions elles sont lointaines)

ma question soulevait bien un pb mais je me suis mal exprimé: je le voyais plus comme perroquet...