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Problème dans les groupes

Posté par
treaf 15-09-11 à 21:00

Voilà un exercice que je n'arrive pas à faire alors que ce doit être tout simple. Soit E un ensemble fini muni d'une loi de composition interne * associative et telle que tous les éléments de E soient réguliers. Montrer que (E, *) est un groupe. QUelqu'un peut-il me donner une piste, s'il vous plait??

Posté par
thibleprire : Problème dans les groupes 15-09-11 à 21:41

Bonjour,

Qu'entend-on par réguliers?

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème dans les groupes 16-09-11 à 15:52

Bonjour

Un élément a est régulier à gauche si et seulement si

(\forall (x,y)\in E^2)(ax=ay\Longrightarrow x=y)

Le résultat est FAUX!

L'ensemble [1,+\infty[ muni de la multiplication répond à toutes les hypothèses mais n'est pas un groupe!

Posté par
thibleprire : Problème dans les groupes 16-09-11 à 16:03

Bonjour Camelia,

Citation :
Soit E un ensemble fini


Citation :
L'ensemble [1,+\infty[ muni de la multiplication répond à toutes les hypothèses mais n'est pas un groupe!


Je crois qu'il ne répond pas à toutes les hypothèses.

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème dans les groupes 16-09-11 à 16:28

Oh, désolée...

Alors c'est vrai! La régularité à gauche dit que la multiplication par a est injective. D'un ensemble fini dans lui-même elle est donc aussi surjective. Alors il existe e tel que ae=a... Avec ça on finit par se débrouiller! Attention, il faut aussi utiliser la régularité à droite!


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