Bonjour,

C² est l'ensemble des couples (x,y) avec x et y complexes.

Tout élément de ce C-espace vectoriel s'écrit donc de manière unique comme la combinaison linéaire à coefficients complexes:

x(1,0) + y(0,1) .

Une base possible est ainsi constituée des deux vecteurs (linéairement indépendants) (1,0) et (0,1)


Maintenant, C est aussi un R-e.v. de dimension 2 puisque tout complexe C s'écrit de manière unique x = u.1 + v.i avec u et v réels.
Une base en est donc (1,i).

C s'identifie donc aux couples (u,v) de R², donc C² aux 4-uplets de R⁴.

On eut aussi voir qu'intrinsèquement, le "produit cartésien" de la base (1,i) par elle-même convient comme base de C² en tant que R-e.v., autrement dit (1,1) (1,i) (i,1) (i,i).

Ces 4 couples sont des vecteurs de C², et la décomposition correspondante d'un élément quelconque (x,y) de C² est la suivante:

(x,y) = u(1,1) + v(1,i) + w(i,1) + t(i,i) où u,v,w,t sont des réels.

3) Ca n'a pas de sens, tu donnes une famille de 4 éléments de C, et non de C²!

Okii merci de m'avoir eclairé sur les 2 premiére questions, mais je ne comprend pas si cest la question 3 qui n'a pas de sens ou ma méthode ?

Pour la question 3, je ne vois vraiment pas quois faire, quelqu'un pourrait me donner une methode ou un debut de réponce s'il vous plais ?

Non, c'est la question qui n'a pas de sens!
Cette famille est une famille de 4 nombres complexes, qui ne vit donc pas dans l'espace vectoriel C², mais dans l'espace vectoriel C!

Tu es sûr que tu n'as pas mal recopié l'énoncé?
Je pencherais peut-être davantage pour la famille de deux éléments {(1+i ; 1-i) ; (2+3i ; i)} de l'espace C²!
(On aurait ainsi deux couples de complexes, c'est-à-dire deux vecteurs de C²).

Alors, je suis allé sur le site de ma promo, et j'ai copier/coller la question telle qu'elle et reverifier sur mon sujet

"c) La famille {1+i , 1−i ,−2+3i ,i } est-elle libre dans ℝ - espace vectoriel ℂ² ? , est-elle
libre dans le ℂ - espace vectoriel ℂ² ?"

hormis que c'étais -2+3i et non 2+3i, il ne semble pas avoir d'erreure de recopiage

Par contre, connaissant mon prof, je ne serais pas étonné que il y est une sorte de piege ou alorsun oublie  de sa part... Ou alors encore plus vicieux, la famille n'appartiendrais pas a R-EV ou C-EV justement parce qu'il ne sont pas dans C², mais je trouve sa peu probable

Je vais quand méme chercher dans la direction que tu me proposes

verifions le cas R-EV avec la base (1,i) et u et v 2 réel

alors on aurait
{u*1*(1+i ; 1-i) + v*i(-2+3i ; i)} = 0
{u(1+i ; 1-i) + v{-2i+3i² ; i²)} = 0
{(u+ui ; u-ui) + (-2vi+3vi² ; vi²)} =0

u + ui -2vi + 3vi² = 0
u - ui +vi² = 0

3vi² + i(u - 2v) + u = 0
vi² - ui + u = 0

{v + u - 2v + u = 0
v - u + u = 0 -> ceci implique v = 0

{-v + 2u = 0

{2u = 0 -> ceci implique que u=0

moralité, la famille est libre dans R-EV de C²

Voila, si sa c'est juste, je pense que je me debrouillerais avec le cas c-EV de C² de base (1,0) et (0,1)

Alors deux choses:

1)Je pense réellement à une erreur d'énoncé, il doit y avoir des parenthèses qui manquent et ton prof voulait sûrement parler d'une famille de deux vecteurs de C² (je suis moi-même prof, et ce genre d'erreurs malencontreuses peut arriver en fin de trimestre, quand tout le monde est bien fatigué...

2)Ta solution est fausse dans le cas d'un R-e.v.

D'une part, C² est de dimension 4 sur R, de base (1,1), (1,i), (i,1), (i,i) comme je te l'indiquais dans mon message précédent.
Tu as fait une sorte de confusion avec C qui est de dimension 2 sur R.

De plus, tu as mal compris ce qu'il fallait vérifier pour prouver la liberté d'une famille de deux vecteurs:

une telle famille (x , y) est libre si et seulement si pour tout couple (u,v) de réels (le corps de base étant ici R) tel que u.x + v.y = 0, alors u = v = 0.

Dans le cas présent, x est le couple (1+i, 1-i) et y est le couple (-2+3i, i).

Donc il faut examiner l'équation u(1+i,1-i) + v(-2+3i,i) = (0,0), qui s'écrit (u+ui-2v+3iv, u-ui+vi) = (0,0).

Je te laisse vérifier que u = v = 0, donc que la famille est libre.


Dans le deuxième cas, u et v seront complexes et on tombera sur la même équation; elle ne se résoudra pas de la même façon puisqu'on ne verra plus de partie réelle et de partie imaginaire.
Si tu connais les déterminants, écris le système de deux équations associé et vérifie que le système est de Cramer, donc qu'il admet pour unique solution (0,0).
Sinon, écris le système et procède par combinaison ou substitution, comme au Lycée.

Dans les deux cas tu trouveras là encore u = v = 0, donc que la famille est encore libre dans cet espace.

daccord, j'ai bien compris le premier cas que je viens de verifié

Par contre pour la partie 2, je n'ai pas trés bien compris en qu'ois le fait que u et v (qui sont dans C) on ne verra plus de partie réel et immaginaire et pourquois la méme équation ne se resout pas de la méme façons.
j'ai dabors pensé que comme u et v sont complexe, les i se modifirais en -1 (i*i = -1) et que les nombre réel deviendrais immaginaire. Comme sa :
u(1+i,1-i) + v(-2+3i,i) = (0,0)
iu -1 -2iv -3 = 0
iu + 1 - 1 = 0

Mais cette équation ne donne pas u = v = 0

[on a pas encore aborder les determinant]

Je crois que tu n'as pas bien compris ce qu'était un nombre complexe.

Tout ce dont tu as besoin ici est qu'un complexe s'écrit de façon unique a + ib avec a et b réels, que i² = -1 et que si a+ib = 0 avec a et b réels, alors a = b = 0.

J'ai bien dit vec a et b réels, ça ne marche plus sinon.

Après il n'y a pas de magie, les i "ne se modifient pas en -1" lol!

Es-tu d'accord qu le membre de gauche est égal au vecteur (u(1+i), u(1-i)) + (v(-2+3i),vi), ce qui donne par addition des composantes le vecteur (u(1+i)+v(-2+3i), u(1-i)+vi) ?

oui je suis daccord avec ton calul mais on arrive aux méme systéme du premier cas

{u(1+i)+v(-2+3i) =0
{u(1-i)+vi = 0

{u + ui - 2v + 3vi = 0
{u - ui + vi = 0

{i(u + 3v) + u - 2v = 0
{i(v-u) + u = 0

{u + 3v + u - 2 v = 0
{v - u + u = 0 -> implique que v = 0

{2u = 0 -> implique que u = 0

C'est pour sa que je comprend pas pourquois il y aurait une différence...

Mince j'ai fait une petite erreur, reprenons!


Multiplions la deuxième ligne par -i (car -i.i = 1) , il vient:

-ui.(1-i) + v =0 d'où v = ui(1-i) = u(1+i).



Par substitution, remplaçons v par u(1+i) dans la première équation:

u(1+i) + u(1+i)(-2+3i) = 0


On factorise u(1+i), soit u(1+i)[1 + (-2+3i)] = 0 d'où u(1+i)(-1+3i) = 0.

On divise par (1+i) puis (-1+3i) qui sont non nuls, d'où u = 0.



Enfin, on remplace u par 0 dans la deuxième équation, donc vi = 0 et v = 0 en divisant par le complexe non nul i.

Conclusion : u = v = 0 et la famille est libre.

ah mais oui, en fait c'est si compliquais que sa ^^ juste une question et aprés je pense me debrouillé corectement, quand tu multiplie par -i,a la deuxiéme equation

({u(1-i)+vi = 0)*-i = {u(1-i)*-i +vi*-i = 0*-i = {-ui(1-i)+v = 0

a moin que se ne soit une faute, je ne comprend pas pourquois tu ecris {ui(1-i)+v = 0 et non {-ui(1-i)+v = 0

Tu n'as sans doute pas vu, mais j'ai écrit un message rectificatif à la suite du premier pour corriger cette erreur de calcul; tu as parfaitement raison!

Okii, et bien merci pour tes indications ^^

Ce sont plus que des indications lol!!!

Je t'en prie!