[/u]Bonjour. Je suis etudiant par correspondance en premiere année de licence. mon soucis est que je n'arrive pa comprendre la correction d'un exercice.
[u]Voici l'énoncé: On considère les vecteurs de R^4
V1 = (1, 1, - 3, - 1),
V2 = ( - 1, 0, 2, 3),

V3 = (1, 5, - 7, 7),

V4 = (2, - 1, - 3, - 8)

V5 = (3, 2, - 8, - 5).

Sont-ils linéairement indépendants ? Sinon, trouver toutes les relations de dépendance entre eux. Extraire de cette famille une famille libre ayant le maximum de vecteurs.

Maintenant en voici la correction: Une base de l'espace des solutions du système homogène a été obtenue à l'exercice 1 (mise en dessous).
B = {(- 5, - 4, 1, 0, 0), (1, 3, 0, 1, 0), (- 2, 1, 0, 0, 1)}

Cela veut dire qu'on peut trouver trois relations de dépendance linéaire entre ces vecteurs, et que toutes les autres relations sont des combinaisons linéaires de celles-là.

Ce sont les relations :

- 5V1 - 4V2 + V3 = 0,  V1 + 3V2 + V4 = 0,  - 2V1 + V2 + V5 = 0

Ces relations permettent de calculer les trois derniers vecteurs en fonction des deux premiers ; ceux-ci ne sont pas colinéaires. V1 et V2 forment donc une famille libre maximale extraite de la famille donnée.

Solution de l'exercice 1 :
Nous sommes dans le cas où a = b = c = d = 0. Nous obtenons une base de l'espace E de solutions dont nous connaissons des équations en terminant le calcul des solutions de (2) :
(x, y, z, t, u) = ( - 5z + t - 2u, - 4z + 3t + u, z, t, u)



ce qui donne la base  B = {(- 5, - 4, 1, 0, 0), (1, 3, 0, 1, 0), (- 2, 1, 0, 0, 1)}. Par ailleurs, le système (2) montre que cet espace de solutions peut être défini par les deux équations : x - y + z + 2t + 3u = 0 et y + 4z - 3t - u = 0. Un système de moins de deux équations ne peut caractériser l'espace E de solutions. En effet en triangulant un tel système (toujours possible puisque les seconds membres sont nuls) la diagonale aurait moins de deux termes, et on pourrait calculer les inconnues en fonction de plus de trois d'entre elles. Ce qui donnerait une base de l'espace E de solutions ayant plus de trois vecteurs. Or c'est impossible puisque nous savons déjà que la dimension de l'espace E est 3 : nous avons trouvé une base ayant trois vecteurs.

Ma methode de raisonnement a été reduire le systeme par la methode de gauss pui de trouver les position de pivot et de dire que seule les vecteurs v1 et v2 sont une famille libre. C est peut etre un raisonnement erroné ou incomplet qui ne correspond pas a la question posée. Mais je ne comprend pas pourkoi on me parle de base dans cette exercice je ne trouve pas le lien et surtout ne comprend pas comment on la trouve notemment le 3eme vecteur. Je sui un peu perdu, je pensé avoir compris le cours. J 'ai un peu du mal exprimer ce que je ne comprend pas. J'espere cependant que j'ai été assez clair. Quelq'un pourrat-il m'espliquer la correction svp. merci d'avance.