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problème de groupes et de classes
bonjour, j'ai un problème d'algebre à résoudre, et je n'y arrive pas. Voici l'énoncé :
soit G un gpe, H et K des ss-gpes de G tq K<H<G. soir S un systeme de représentant des classes à gauche par rapport à H dans G, càd un ensemble constitué d'un élément et d'un seul de chaque classe à gauche par rapport à H; et T un systeme de représentants des lasses à gauche parrapport à K dans H.
1) Montrer que {xy / xES, yET=} est un systeme de représentants des classes à gauche par rapport à K dans G.
2) En déduire que [ G :K ] = [G :H ][ H : K ]
je n'arrive pas à explicter S ni T...et je ne vois pas du tout comment repondre à la première question.
Quelqu'un pourrait-il m'aider?
Bonjour
On ne peut pas expliciter S et T. On dit simplement que l'on a choisi un et un seul représentant dans chaque classe. L'exmple type: Je peux choisir (0,1,2) comme représentants de Z/3Z mais aussi (-1,0, 1).
1) Je note ST l'ensemble décrit.
Alors soit z dans G et zK sa classe (je ne sais jamais si c'est ça les classes à gauche, mais bien sur si c'est Kz tout ce que je dis reste valable).
D'abord, comme S est un système pour H, il existe un élément x dans S tel que z
xH. Alors il existe hH tel que z=xh. Comme T est un système pour K dans H, il existe y dans T tel que hyK, donc h=yk avec k dans K, et finalement z=xyk. Ceci montre que zK
xyK.
Je te laisse montrer l'unicité!
ok, j'ai mis pas mal de temps, mais je pense que j'ai à peu près compris... Là on arrive à :h l'ensemble des classes à gauche de G par rapport à K est inclus dans l'ensemble des classes à gauches de ST par rapport à K?
et, il faut que je montre l'unicité de quoi?
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