Salut

Que vaut Ker(u+v-Id) si sa dimension est 2?

Bonjour

1) si dim Ker (u + v - Id) = 2, on a u + v = Id.
Donc u = -(v - Id)
...

2) Il s'agit de montrer que e1 n'est pas proportionnel à e2.
Supposons qu'il existe un réel k tel que e1 = ke2
On aurait u(e1) = u²(e2) = -e2
Et u(e1) = u(ke2) = ku(e2) = ke1 = k²e2
...

Cordialement
Frenicle

je comprends pas le 1) pourquoi a-t-on u+v = id ?
quant au 2) je vois pas vraiment le lien entre tes 2 calculs...

Pour la 1) c'est ce que je te disais.

Ton noyau est de la dimension de l'espace ambiant, c'est donc que c'est l'espace ambiant (ie R²) lui même !

Autrement dit, Ker(u+v-Id)=R²

oui d'accord, mais je ne vois pas le lien avec la conclusion avec u+v = Id..

Eh bien pose toi 5 minutes devant ce que je viens d'écrire en réfléchissant et tu trouveras, c'est pour le coup trivial (définition du noyau)

y'a 1 ptet 1 propriété que je ne vois pas (ou connais pas), mais je vois toujours pas le lien avec la conclusion...

de quelle conclusion parles-tu?

toujours u+v = Id...
sinon, pour le 2, je vois qu'il y a 1 contradiction car on aboutit à k² = -1, mais après ??

Tu sais que Ker(u+v-Id)=R²

Cela veut donc dire que pour tout x, u(x)+v(x)-Id(x)=0 non? ie u(x)+v(x)=x, ou encore u+v=Id...

désolé, ça peut paraitre idiot, mais je fais pas le lien entre le noyau, égal à R² et u+v-Id = 0... tu peux me le réexpliquer autrement si possible ?

Qu'est-ce que le noyau d'une application linéaire?

ben Ker f = f-1 (0), et alors ?

Oui, le noyau c'est l'ensemble des vecteurs qui annulent l'application linéaire.

Ker(f) c'est l'ensemble des x tels que f(x)=0.

Ainsi si Ker(f)=R², cela veut donc dire que f est nulle non?

ok car 0=R² si f nulle, ok. dONC u+v = Id je siuis d'accord maintenant. Sinon pour ce que je demandais pour le 2, k²=-1, donc quelle conclusion on peut tirer ?

"O=R² si f nulle" ? Pas compris ...

ben on ne peut avoir 0 = R² que si f est nulle non ?

Que veut dire 0=R² ? R² est un ensemble ...

alors j'ai rien compris... on a à la fois f(x) = 0 et f(x) = R² ou pas ?

Mais ça ne veut rien dire f(x)=R² !! Là il y a une grosse lacune à combler !

BON, comment tu expliquerais que f est nécessairement nulle ?

Je reprends depuis le début...

Le noyau d'une application linéaire f définie sur un espace vectoriel E, noté Ker(f) est l'ensemble des vecteurs x de E tels que f(x)=0.

Par exemple, veut dire que .

Dire que veut dire que tout élément de E est dans le noyau, ou encore que . Mais dire que f est nulle en tous les vecteurs de E, cela veut dire que f est l'application nulle !

Bien, ici on a , cela veut donc dire que l'application est nulle, ie : (0 désigne ici abusivement l'application nulle).
Cela s'écrit encore en passant v-Id de l'autre côté, !

Compris?

je faisais surement 1 malentendu : f est bien nulle en tout point, ok. mais juste 1 question : dire que Ker (u+v-Id) = un ensemble quelconque ==> u+v-Id = 0 ? En fait peut-on généraliser, i.e. aurait-on le même résultat avec R^3 ou tout autre espace ?

Non... Le fait que u+v-Id soit nul vient du fait qu'ici le noyau est l'ensemble entier où la fonction est définie.

Si u+v-Id était définie sur et que le noyau était , u+v-Id ne serait pas l'application nulle. Elle serait juste nulle sur

D'accord il faut 1 "compatibilité" des noyaux. je pense avoir bien compris, ou du - mieux. merci en tout cas.

je t'en prie!