bonjour...


supposons que l'espace vectoriel soit l'ensemble K[X]/P
ça a l'air compliqué mais ça signifie que
on a une base:


1 ->X
X->X^2
....
X^{n-2}->X^{n-1}

et

en fait cette application à un poynome Q, associe le reste de la division de X * Q par P....
elle est inversible car la fonction inverse consiste à diviser par X modulo P

Supposons que P(X) soit scindé.
racine de P(X)
appelons u l'application associée à la matrice.

résolvons u(Q) =

ou simplement

modulo P : ou encore :
comme Q de degré inférieur à P...
on a Q=0 ou Q(X) =  

ce qui signifie que l'espace propre associé à est de dimension 1

ok! merci donc si je comprends bien il y juste une valeur propre? la dimension était de 1 la multiplicité de  lambda est 1!
de plus le polynôme minimal est de degré < ou = à celui du polynôme caractéristique
de plus si le polynome est scindé il faudrait qu'il y ait autant de valeurs propres que le plus haut degré (soit n, si je me trompe pas).
soit le polynôme minimal est égale à Mf= (λ1-X)( λ2-X)×...×(λn-X)
est-ce que ca vous parait juste??
ensuite j'aimerai bien savoir avec quelle méthode je peux montrer que Cp est diagonalisable si et seulement si le polynôme P est scindé et toutes ses racines sont simples?
merci d'avance pour votre aide

Bonjour, made_in_ireland

Soit t une valeur propre de C_P. La dimension du sous-espace propre est égale à
n - rang (C_P-tI_n)

Il est facile de montrer que le rang de C_P-tI_n)  est supérieur ou égal à n. Donc, la dimension du sous-espace propre est inférieure ou égale à 1. Elle vaut donc 1.

Pour la deuxième question: C_P est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à n, donc si et seulement si le nombre de valeurs propres distinctes deux à deux est égal à n ...

merci!
je voudrais juste savoir si quelqu'un peut m'aider à montrer que le polynome minimal est égale P c'est-à-dire
Mf= (λ1-X)( λ2-X)×...×(λn-X)= X^n+a(n-1).X^(n-1)+⋯+a1.X+a0=P(X)    où a(n-1)
je sais pas si je peux rediger cela tout de suite ou s'il faut le démontrer! sachant qu'on ne connait pas les valeurs des λ je vois pas par où commencer?

On note e_1,...,e_n la base canonique de K^n, et on remarque que
C_P(e_1)=e_2
C_P(e_2)=e_3
.
.
.C_p(e_{n-1})=e_n

Si on prend Q un polynôme non nul de degré strictement inférieur à n, Q(C_P) ne s'annulera pas (il suffit de considérer Q(C_P)(e_1) ...).
Donc, le polynôme minimal sera de degré au moins  n ....

merci