utilise l'inégalité triangulaire, et étudie justement le cas de l'égalité triangulaire, je suis pas sur mais essaye je crois que c'est sa

Salut !

équivaut à tel que , avec
Donc cela revient à dire que tous les appartiennent à une même demi-droite d'origine O, donc finalement cela revient à dire qu'ils ont tous le même argument.

Sauf erreurs.

Sinon, si tu veux le faire par récurrence, je pense que l'implication de droite à gauche est assez simple.

En effet, supposons que tous les z_k aient le même argument.

Alors

Donc

Or, tous les sont des réels strictement positifs.

Donc

J'ai pas compris la réccurence ?
J'arrive même pas à faire l'initialisation pour n=2 ...


Merci d'avance pour vos explications

Bonsoir,

Pour l'initialisation, reviens à la forme algébrique des complexes!

Quelqu'un peut me détailler l'initialisation. S'il vous plait ?

salut

appelons P(n) ta propriété
p(1) est vrai: |z1|=|z1| !!!
P(2) se démontre avec l'inégalité triangulaire (initialisation)
géométriquement la longueur de la some de 2 vecteurs=la somme des longueurs des 2 vecteursils sont colinéaires et de mêmes sens donc les affixes associées ont même argument

hérédité: supposons que P(k) est vrai jusqu'a n; alors
E =|z1+z2+...zn+z(n+1)|=|(z1+z2+..zn) + z(n+1)|
or P(2) est vrai donc E=|z1+z2+...zn| + |z(n+1)|z1+z2+...+zn et z(n+1) ont même argument
or P(n) est vrai donc |z1+z2+...+zn|=|z1|+-z2|+...+|zn| ssi les z(i) (i=<n) ont même argument et alors leur somme a même argument que les z(i) donc tous les z(i) (i=<n+1) ont même argument


l'argument de la somme de nombre complexes de même argument a même argument!!!

...donc P(n+1) est vraie...