Niveau maths spé

Problème élémentaire de changement de repère en 2D!

Posté par
alex3890 14-11-09 à 15:40

Bonjour à tous, je suis actuellement en prépa (en deuxième année) et je bloque complètement sur les changements basiques de repères pour la mécanique.
Il s'agit de repères ayant une origine commune et un axe en commun.
Les changements de repères sont donc très basiques je sais, cependant je m'embrouille totalement avec l'histoire des angles orientés.
Je n'avais jamais fais attention que ces changements faisaient intervenir des angles orientés et ça m'a complètement perturbé en cours de méca l'autre jour !
Nous allons partir d'un repère R0(x0,y0,z0) et R1(x1,y1,z1) ayant une origine commune et vérifiant la relation: $\vec{z0}=\vec{z1}$ .
On se place donc dans le plan ( $\vec{x}$ , $\vec{y}$ ).
Le repère R1 n'est autre qu'une rotation du repère R0 par un angle $+\alpha$ . On a donc $\alpha=(\vec{x0};\vec{x1})$
Jusqu'ici tout va bien!
Je cherche donc à exprimer R0 dans R1 et R1 dans R0!

Premièrement, l'expression de R1 dans R0 ne me pose aucun souci, il s'agit en effet d'un bête cercle trigonométrique:
$\vec{x1}=\cos{(\alpha)}\cdot\vec{x0}+\sin{(\alpha)}\cdot\vec{y0}$
$\vec{y1}=-\sin{(\alpha)}\cdot\vec{x0}+\cos{(\alpha)}\cdot\vec{y0}$

Ensuite, pour l'expression de R0 dans R1, je me retourne le cerveau dans tous les sens pour arriver à ces expressions:
Je pars du principe que $-\alpha=(\vec{x1};\vec{x0})$
Je trace donc mes repères en conséquence et j'obtiens les mêmes relations en inversant seulement le signe de $\alpha$ :
$\vec{x0}=\cos{(-\alpha)}\cdot\vec{x1}+\sin{(-\alpha)}\cdot\vec{y1}$
$\vec{y0}=-\sin{(-\alpha)}\cdot\vec{x1}+\cos{(-\alpha)}\cdot\vec{y1}$
Après simplification :
$\vec{x0}=\cos{(\alpha)}\cdot\vec{x1}-\sin{(\alpha)}\cdot\vec{y1}$
$\vec{y0}=\sin{(\alpha)}\cdot\vec{x1}+\cos{(\alpha)}\cdot\vec{y1}$

Voici donc mes résultats!
Merci de me les confirmer!!
Si vous connaissez des cours montrant ceci je suis preneur histoire d'avoir des techniques pour aller plus vite...
Sinon, je pense que je vais me résigner à les apprendre!

Merci beaucoup
Bonne après midi
Cordialement
Alex

Posté par re : Problème élémentaire de changement de repère en 2D! 14-11-09 à 15:57

bonjour.

une rotation d'angle $\alpha$ cela revient à multiplier par $e^{i\alpha}$
si on considère le repère (m,z) où m = x+iy....

en principe:

$O(e_0;k_0)$
$O_1(e_1;k_1)$

$e_0= \vec u + i \vec v$
$e_1= \vec {u_1} + i \vec {v_1}$

M (x;y;z)
$4$ \vec {OM}= x \vec u + y \vec v + z \vec w = m e + z w....= m e^{i\alpha} e_0 + z w$

est-ce plus clair ? ou plus embrouillé ?

Posté par re : Problème élémentaire de changement de repère en 2D! 14-11-09 à 16:05

Cette fois-ci j'estime ne plus rien comprendre!
Je sais q'une rotation d'angle $\alpha$ cela revient à multiplier par $e^{i\alpha}$
Je n'ai cependant rien compris à vos notations, mais je crois que le mal est plus profond!
Merci beaucoup de m'avoir si vite répondu.

est-ce que mes relations sont correctes?
Si oui, j'ai peut-être trouvé un moyen mnémotechnique de les retrouver (une recette!).
Merci beaucoup du temps que vous me consacrerez!
Cordialement
Alex

Posté par re : Problème élémentaire de changement de repère en 2D! 14-11-09 à 16:09

Normalement c'est bon...

encore toutes mes excuses pour l'embrouillamini....
c'est vrai que les notations se télescopent....

Posté par re : Problème élémentaire de changement de repère en 2D! 14-11-09 à 16:15

Merci beaucoup à toi!
A bientôt sur le forum
Alex

Posté par re : Problème élémentaire de changement de repère en 2D! 14-11-09 à 16:27

Bonjour,

Tes résultats sont bons.
En fait, esta-fette a dit le principal, il s'agit d'une rotation d'angle alpha.

Si tu es plus à l'aise en math, alors tu peux voir tous ces changements de repère comme ca :
Le vecteur (x1,y1) est l'image du vecteur (x0,y0) par la rotation d'angle donc si on appelle R() la matrice de cette rotation :
$3$ \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = R(\alpha)\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}$

Exprimer x0,y0 en fonction de x1 et y1 revient tout simplement à inverser la matrice R(). Et ca c'est vraiment très simple, R() appartient au groupe orthogonal d'ordre 2: $3$ O_2(\mathbb{R})$ , donc son inverse c'est sa transposée, i.e. R(-). Ainsi on retrouve exactement ce que tu proposes.

C'est juste une proposition (à prendre ou à laisser si je puis dire ) pour te permettre de ne pas te tromper en méca

Posté par re : Problème élémentaire de changement de repère en 2D! 14-11-09 à 16:31

Je n'avais jamais pensé les choses sous cet angle!
Effectivement c'est ultra clair de la sorte!
Merci beaucoup, me voilà fixé!

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