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problème forme bilinéaire

Posté par
coursts2 21-01-09 à 23:58

Bonsoir à tous !
Voila j'ai un problème à résoudre mais je n'arrive pas à le commencer alors je demande si quelqu'un pourrait m'apporter un peu de son aide pour m'éclairer sur ce "petit" problème^^ Voici le début de l'énoncé:

Soit n2, on pose E = n. Soit B une forme bilinéaire symétrique sur E, c'est-à-dire une application de E × E dans R telle que pour tous v, v',w E et ,R,
B(v, v') = B(v', v) et B(v + μw, v') = B(v, v') + μB(w, v').
On suppose qu'il existe une base (e1, ..., en) de E telle que, pour tout i {1, . . . , n},     B(ei, ei) = 1 .
Pour i, j {1, . . . , n}, on pose   B(ei, ej) = bij .
Pour tout i {1, . . . , n}, et pour tout v E, on définit
i(v) = v − 2B(v, ei)ei

1. On fixe i {1, . . . , n}.
(a) Montrer que i est une application linéaire de E dans E.
(b) Calculer ²i .
(c) Montrer que l'application définie sur E par vB(v, ei) est une forme
linéaire.
Que peut-on dire de son noyau ?
(d) Quelle est la nature géométrique de i ? Préciser ses éléments caracté-
ristiques.
(e) Montrer que B(i(v), i(v0)) = B(v, v') pour tous v, v' E

Voila ça peut parraitre condensé mis comme ça mais je demande juste quelques pistes pour avancer petit à petit.. en espérant que quelqu'un puisse m'aider je vous remercie d'avance

Posté par
raymond Correcteurre : problème forme bilinéaire 22-01-09 à 09:54

Bonjour.

1. a) ne doit pas te poser de problème

1. b) calcule d'abord i(ei)

Ensuite, effectue i(i(v))

Posté par
coursts2re : problème forme bilinéaire 23-01-09 à 21:45

bonjour euh pour le b) je ne vois pas très bien où aller

Posté par
sandra91re : problème forme bilinéaire 23-01-09 à 22:44

Bonsoir,
j'ai le même problème à faire pour lundi ! on ne serai pas dans la même classe?
en fait dans le b), la question est mal posée! en fait, il faut que tu calcules sigma rond sigma et non pas sigma au carré ! et tu trouves que sigma rond sigma est égale à l'identité!

Posté par
coursts2re : problème forme bilinéaire 24-01-09 à 07:15

lool je sais pas t'es dans quelle classe? aaah okey okeey !! j'aurai jamais vu ça comme ça xD merci! tu as réussi la suite?

Posté par
raymond Correcteurre : problème forme bilinéaire 24-01-09 à 12:22

Bonjour.

Un petit début. \sigma_i

1. a). Linéarité.

Si a et b sont deux réels, v et w deux éléments de E :

2$\textrm\sigma_i(a.v+b.w) = a.v+b.w-2B(a.v+b.w,e_i).e_i

En tenant compte de la linéarité de B par rapport à la première variable :

2$\textrm\sigma_i(a.v+b.w) = a.v+b.w-2[aB(v,e_i)+bB(w,e_i)].e_i

En développant et en regroupant, cela donne bien :

2$\textrm\sigma_i(a.v+b.w) = a.\sigma_i(v)+b.\sigma_i(w)

1. b). Calcul du carré.

2$\textrm\sigma_i^2(v)=\sigma_i[v-2B(v,e_i).e_i] = \sigma_i(v)-2B(v,e_i).\sigma_i(e_i)

Calculons : 2$\textrm\sigma_i(e_i)=e_i-2B(e_i,e_i).e_i=-e_i

Donc :

2$\textrm\sigma_i^2(v)=\sigma_i[v-2B(v,e_i).e_i] = \sigma_i(v)+2B(v,e_i).e_i\\ \\ \\ =v-2B(v,e_i).e_i+2B(v,e_i).e_i=v

Conclusion : 2$\textrm\sigma_i^2=Id_E

Posté par
sandra91re : problème forme bilinéaire 24-01-09 à 13:41

je suis en PCSI au lycée Saint Louis^^ Mais je crois bien que t'es quelqu'un de ma classe !^^
Sinon j'ai "à peu près fini" le problème, donc si t'as besoin d'aide, n'hésite pas à demander! Il y a juste la question sur le noyau que j'ai pas trop compris!

Posté par
coursts2re : problème forme bilinéaire 24-01-09 à 14:11

ah non alors moi je suis dans une plus petite prépa en province ! qu'est-ce qui te fesait dire qu'on était dans la meme classe? ah d'accord moi j'en suis encore qu'au début du problème! comment as-tu fait pour la question 2?

merci beaucoup raymond pour votre aide !!

Posté par
coursts2re : problème forme bilinéaire 24-01-09 à 14:20

j'ai réussi pour la c) mais par contre je bloque pour la d) et la e) quelqu'un peut-il m'éclairer svp?

Posté par
raymond Correcteurre : problème forme bilinéaire 25-01-09 à 13:10

Il est assez simple de montrer que fi : v B(v,ei) est une forme linéaire.

De plus, fi(ei) = B(ei,ei) = 1 signifie que fi est une forme linéaire non nulle.

On en déduit que son noyau Ker(fi) est un hyperplan Hi de E.

Comme ei n'est pas dans Hi, on peut écrire que :

E = Hi IR.ei

Pour tout x dans E, il existe donc un unique couple (hi , a) appartenant à HiIR tel que x = hi + a.ei

Alors :

i(x) = hi + a.ei - 2B(hi+a.ei,ei).ei = hi + a.ei - 2a.ei = hi - a.ei

Finalement : i(hi + a.ei) = hi - a.ei

Ceci caractérise une symétrie par rapport à Hi dans la direction ei

Posté par
coursts2re : problème forme bilinéaire 25-01-09 à 14:02

merci beaucoup raymond, j'ai compris maintenant comment faire =D
Par contre pour la e) je cherche depuis des heures mais je tourne en rond alors que je suis sur que cela ne doit pas être très compliqué ! Je m'embrouille dans les calculs.. pouvez vous me donner quelques pistes svp pour raccourcir mes calculs qui n'aboutissent pas..

Posté par
raymond Correcteurre : problème forme bilinéaire 25-01-09 à 14:29

Le calcul est assez simple si l'on comprend que : -2B(v,ei) est un réel, et que l'on peut, par bilinéarité, le sortir devant le calcul.

Pour simplifier, je n'écris pas ei, mais e ni i, mais s.

B( s(v) ; s(w) )

= B( v - 2B(v,e).e ; w - 2B(w,e).e )

= B( v ; w ) + B( v ; -2B(w,e).e ) + B( -2B(v,e).e ; w ) + B( -2B(v,e).e ; -2B(w,e).e )

Les réels soulignés peuvent être "mis en facteur" par bilinéarité :

= B( v ; w ) - 2B(w,e)B(v,e) - 2B(v,e)B(e,w) + 4B(v,e)B(w,e)B(e,e)

Je te laisse terminer.

Posté par
coursts2re : problème forme bilinéaire 25-01-09 à 15:10

Ah oui je n'avais pas pensé à utiliser le fait que ça soit bilinéaire pour sortir le terme !! merci^^
Par contre pouvez vous encore m'aider un petit peu pour les 2 dernières questions svp? je ne vois pas du tout comment faire par contre ici..

2. On fixe i et j dans {1, . . . , n}, tels que i j. Soit Eij le sous-espace vectoriel de E engendré par ei et ej .
Montrer que Eij est stable par i o j , c'est-à-dire que i o j(Eij) Eij .
3. On suppose que |bij | < 1.
Montrer que E est somme directe de Eij et de Fi \ Fj .

Voila si vous pouviez m'aider encore un peu ce serait vraiment gentil^^ En tout cas je vous remercie beaucoup pour le reste ! =D

Posté par
raymond Correcteurre : problème forme bilinéaire 25-01-09 à 15:52

C'est simple. Calcule d'abord :

2$\textrm \sigma_i(e_j) et 2$\textrm \sigma_j(e_i)

D'autre part, je t'ai déjà donné : 2$\textrm \sigma_i(e_i) = - e_i

Enfin, en calculant : 2$\textrm \sigma_i[\sigma_j(e_j)] et 2$\textrm \sigma_i[\sigma_j(e_i)] tu arriveras à la conclusion.

Posté par
coursts2re : problème forme bilinéaire 25-01-09 à 15:58

euh nan je ne vois pas très bien en fait.. :s


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