Bonsoir.

Je trouve bien : P(X) = X³ + X² - X - 1 = (X - 1)(X + 1)²

Il faut que tu saches que le polynôme minimal est un diviseur de P(X).

En calculant A - I, puis (A + I)², on voit que le polynôme minimal est P(X).

je comprends pas!si j'ai bien compris ca veut dire que le polynôme caractéristique est égal au polynôme minimal?

je fais quoi de A-I je calcule le rang? en général c'était pour les espaces propres qu'on calcule ker(A-I)?

l'autre question c'est soit P appartient à R[T] un polynome
je dois montrer qu'il existe des nombres réels a , b ,c tels que P(A)= a.A² +b.A +c.I et l'exprimer en fonction de P(1), P(-1) et P'(1)

je trouve a = 1 b=-1 et c=-1
c'est-à-dire que : P(X)= aX^3.P(1) + bX².P(-1) + cX.P'(1) -1
est-ce que cela vous parait juste?

Connais-tu le théorème de Cayley-Hamilton :

une matrice A annule son polynôme caractéristique _A : _A(A) = O ?

(Ici : A³ + A² - A - I = O)

Maintenant effectue la division euclidienne de P(X) par _A :

P(X) = _A.Q(X) + R(X) avec R(X) = aX² + bX + c

En remplaçant X par A :

P(A) = a.A² + b.A + c.I

merci mais y a pas un problème? pour diviser un polynôme de degrés 3 par un polynôme de degrés 2

je commence la division : aA^2 + bA + cI  par A3 + A² - A - I?? mais franchement je galère un peu!!!! merci deja pour votre aide d'avant! je me suis dit que peut etre si j'utilise la forme (X - 1)(X + 1)²
ca pourrait aider qu'es-ce que vous en pensé?

On ne te demande pas d'effectuer cette division, seul le reste compte.

Remplace X par les racines de (X)

je crois avoir compris maintenant que le polynome minimal est soit (X-1)(X+1)² ou  (X-1)(X+1)
en remplaçant X par la matrice A on trouve que c'est la premiere expression qui annule donc qui est le polynome minimal.
(X-1)(X+1)²=X^3+ X²-X+1

on peut alors poser a, b, c tel que :
A^3= -A² +A +I
A^4= -A^3 + A^2 + A = -(-A² +A +I)+A^2 + A = 2A²-I

A^5=-2A²+A+ I
A^6= 4A²-A-I

et après on pose A^n = a(n)A² + b(n)A +c(n)I
(j'ai mis des parenthèses pour dire indices n ( a(n) ))
sauf que j'arrive pas à en faire un récurrence.je sais pas par où mis prendre!

cela vous parait il juste? (dsl d'etre aussi chiant!)

Et si tu essayais de suivre mes conseils ?

Divisons P(X) par (X-1)(X+1)².

Comme le diviseur est de degré 3, le reste sera du type aX² + bX + c, avec a, b, c inconnus

P(X) = (X-1)(X+1)².Q(X) + aX² + bX + c

En remplaçant X par A, le théorème de Cayley Hamilton permet d'écrire

P(A) = a.A² + b.A + c.I₃

Voilà, l'existence est assurée.

Passons à la recherche de a, b, c.

Reprenons :

P(X) = (X-1)(X+1)².Q(X) + aX² + bX + c (0)

Remplaçons X par 1 :

P(1) = a + b + c (1)

Remplaçons X par -1 :

P(-1) = a - b + c (2)

Il manque encore une équation.

Pour cela, dérivons (0) :

P'(x) = (X+1)²Q(X) + 2(X-1)(X+1).Q(X) + (X-1)(X+1)².Q'(X) + 2aX + b

Remplaçons X par -1 :

P'(-1) = -2a + b (3)

Maintenant, avec (1), (2) et (3) tu vas trouver a, b, c.

ok merci beaucoup

Bonne soirée.