Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Problème sur matrices

Posté par
infophile 05-04-08 à 16:17

Bonjour

Citation :
Soit E un 3$ \rm \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension 4, et soit 3$ \rm B=(e_1,e_2,e_3,e_4) une base de E.

On considère les vecteurs : 3$ \rm f_1=e_1+e_2-e_3+e_4\\f_2=e_1+e_3\\f_3=-e_1+e_2+e_3+e_4\\f_4=e_2-e_4

Soit s l'endomorphisme de E ayant pour matrice dans la base B : 3$ \rm S=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\end{pmatrix}

1) Vérifier que s est la symétrie par rapport au plan F de base 3$ \rm (f_1,f_2), parallèlement au plan G de base 3$ \rm (f_3,f_4). Déterminer sans calcul la matrice 3$ \rm S^{-1}.


J'ai une méthode en tête mais elle est affreusement longue, j'aimerais savoir s'il n'y a pas plus simple.

Je pensais montrer tout d'abord que 3$ \rm E=F\Bigoplus G et montrer que pour 3$ \rm x_1\in F, x_2\in G on a 3$ \rm s(x_1+x_2)=x_1-x_2. Mais c'est long à exprimer dans les différentes bases. Et pour l'inverse j'aurais simplement dit que s est une involution donc 3$ \rm S^{-1}=S.

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème sur matrices 05-04-08 à 16:25

Bonjour Kevin

En fait le plus simple est de vérifier que S2=Id, que S laisse fixes les vecteurs f1, f2 et regarder ce qu'elle fait à f3 et f4. Mais il faut quand même vérifier que les fi forment une base.

Posté par
infophilere : Problème sur matrices 05-04-08 à 16:30

Bonjour Camélia

L'énoncé dit de déterminer l'inverse sans faire de calculs, donc je pense qu'il suggère de ne pas calculer S².

Mais si on pouvait le faire qu'est-ce qui arriverait à f3 et f4 ?

Pour les fi pas de problème pour montrer que c'est une base de E.

Sans calculer S² il ne me reste plus qu'à faire ce que je craignais donc ?

Merci !

Posté par
infophilere : Problème sur matrices 05-04-08 à 16:34

Je retire la deuxième ligne (on aurait s(f3) = -f3 et s(f4) = -f4).

Posté par
infophilere : Problème sur matrices 05-04-08 à 16:37

Ta méthode est plus rapide oui mais est-ce nécessaire de calculer S² au fait ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème sur matrices 05-04-08 à 16:49

Après tout tu as raison; si on sait que c'est une base le fait de laisser fixes deux vecteurs et d'envoyer les suivants sur leurs opposés suffit à prouver que c'est une symétrie et c'est alors évident que son carré vaut Id.

Posté par
infophilere : Problème sur matrices 05-04-08 à 16:55

J'ai réussi les trois questions suivantes, une autre :

Citation :
Spient a et b deux réels. On note 3$ \rm u_{a,b} l'endomorphisme de E ayant pour matrice dans la base 3$ \rm B'=(e_1',e_2',e_3',e_4') définie par 3$ \rm e_i'=s(e_i) :

3$ \rm D(a,b)=\begin{pmatrix}(a+b)^2&0&0&0\\0&(a-b)^2&0&0\\0&0&a^2-b^2&0\\0&0&0&a^2-b^2\end{pamtrix}

a) Donner une CNS portant sur a et b pour que 3$ \rm u_{a,b} soit inversible.
b) Lorsque cette condition est remplie, déterminer la matrice de 3$ \rm [u_{a,b}]^{-1} dans la base B'. (on calculera ses coefficients et on l'exprimera à l'aide de D(a,-b)).


Est-ce que dire que 3$ \rm u_{a,b} est inversible est équivalent à dire que D(a,b) l'est ?

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème sur matrices 05-04-08 à 17:01

Oui, bien sur, un endomorphisme est inversible si et seulement si sa matrice par rapport à n'importe quelle base est inversible.

Posté par
infophilere : Problème sur matrices 05-04-08 à 17:16

D'accord, dans ce cas j'ai trouvé comme CNS : 3$ \rm a\neq b et 3$ \rm a\neq -b.

Puisque c'est une matrice diagonale, sous cette condition l'inverse est :

3$ \rm D(a,b)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{(a+b)^2}&0&0&0\\0&\frac{1}{(a-b)^2}&0&0\\0&0&\frac{1}{a^2-b^2}&0\\0&0&0&\frac{1}{a^2-b^2}\end{pmatrix} et 3$ \rm D(a,-b)=\begin{pmatrix}(a-b)^2&0&0&0\\0&(a+b)^2&0&0\\0&0&a^2-b^2&0\\0&0&0&a^2-b^2\end{pmatrix}

Bon je cherche un lien entre ces deux matrices...

Posté par
infophilere : Problème sur matrices 05-04-08 à 17:32

Je ne vois pas de relation simple... et toi Camélia ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Problème sur matrices 05-04-08 à 17:42

Salut Kévin !

Camélia étant déconnecté, je t'aide !

Si tu calcules le produit :

3$\rm D(a,b)D(a,-b)=\begin{pmatrix}(a+b)^2&0&0&0\\0&(a-b)^2&0&0\\0&0&a^2-b^2&0\\0&0&0&a^2-b^2\end{pamtrix}\begin{pmatrix}(a-b)^2&0&0&0\\0&(a+b)^2&0&0\\0&0&a^2-b^2&0\\0&0&0&a^2-b^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(a^2-b^2)^2&0&0&0\\0&(a^2-b^2)^2&0&0\\0&0&(a^2-b^2)^2&0\\0&0&0&(a^2-b^2)^2\end{pmatrix}=(a^2-b^2)^2I_4

Ainsi: 3$\rm D(a,b)^{-1}=\frac{1}{(a^2-b^2)^2}D(a,-b)

Posté par
infophilere : Problème sur matrices 05-04-08 à 17:44

Merci momo

Posté par
infophilere : Problème sur matrices 05-04-08 à 18:31

Citation :
Soit 3$ \rm M(a,b) la matrice de 3$ \rm u_{a,b} dans la base B.

Montrer que 3$ \rm M(a,b)=\begin{pmatrix}a^2&ab&ah&b^2\\ab&a^2&b^2&ab\\ab&b^2&a^2&ab\\b^2&ab&ab&a^2\end{pmatrix}


Pour être sûr, il faut bien que je détermine la matrice de passage de B' à B n'est-ce pas ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Problème sur matrices 05-04-08 à 18:35

oui, c'est bien ça

Cherche la matrice de passage de B' vers B et sont inverse

Posté par
infophilere : Problème sur matrices 05-04-08 à 18:46

Ok, et cette fameuse matrice c'est pas S à tout hasard ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Problème sur matrices 05-04-08 à 18:49

Tout à fait ! donc tu as : M(a,b)=SD(a,b)S

Posté par
infophilere : Problème sur matrices 05-04-08 à 18:57

Dis moi momo sous Maple tu fais comment pour avoir l'inverse d'une matrice ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Problème sur matrices 05-04-08 à 19:02

J'ai Maple 11, donc il le fait tout seul avec un clic droit !

sinon, si tu as définie ta matrice : par exemple S:= ... tu fais juste S^(-1) ou bien evalm(S^(-1))

sinon pour définir une matrice :

exemple : 2 lignes , 3 colonnes : A := matrix(2,3,[[5,8,a],[1,0,6]]);

Posté par
infophilere : Problème sur matrices 05-04-08 à 19:19

Ok merci


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !