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problème sur un Exercice sur les paraboles
On note (H) l'hyperbole d' équation cartésienne y =1/x dans un repère orthonormé (O;i,j) du plan.
On souhaite déterminer les coordonnées (a,b) du centre Ω du cercle (C) qui passe par O et qui esttangent en un point M t,1t, t, à (H).Dire que le cercle (C) est tangent au point M à l'hyperbole (H), c'est dire queMC( ) H( )et quela normale (N) à (H) au point M contient le centre Ω du cercle (C).
1.a. Donner les composantes d'un vecteur T tangent à (H) au point M t,1t.
1.b. En déduire une équation cartésienne de la normale (N) à (H) au point M t,1t.
SVP aidez moi a commencer parce que j'avoue je suis un peu perdue ^^
Bonjour,
Le vecteur de coordonnées (1, f'(x)) est un vecteur directeur de la tangente à la courbe d'équation y = f(x) au point (x, f(x)).
Ici f'(t) = -1/t2, donc un vecteur directeur est (1, -1/t2).
on peut choisir (t2, -1) si on veut éviter les dénominateurs.
MERCI pour ton aide frenicle je comprend un peu plus clairement avec ton explication, je but maintenant sur la question 2 alors un peit coup de main suplémentaire serait sympa merci ? ^^
Un point P(x,y) appartient à la normale (N) à H au point M si et seulement si le vecteur MP est orthogonal au vecteur directeur V(t2, -1) de la tangente.
Il suffit d'écrite que le produit scalaire MP.V = 0.
d'accord, soit (x-t;y-1/t)*(t²;-1)*cos (MP) mais on connait pas l'angle ?? si si il sont orthogonaux ?
Non non, il n'y a pas de cosinus. Tu confonds deux formiles pour le produit scalaire.
La première c'est MP.V cos(MP, V) (produit des longueurs des vecteurs par le cos de leur angle.)
La deuxième, qui donne le même résultat, c'est de multiplier les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles et d'additionner. Là, il n'y a pas de cosinus.
ok ^^ tu vas sans doute me trouver excessivement nulle ^^ mais apartir de là je ne vois pas comment en déduire l'équation cartésienne
On a choisi un point M sur la courbe. Donc t est fixé.
L'équation s'écrit :
t2x - y - t3 + 1/t = 0
Elle est de la forme Ax + By + C = 0 avec A = t2, B = -1, C = - t3 + 1/t
C'est donc bien l'équation d'une droite.
ok je voit bien se que tu veut dire et je te remercie pour ton soutient. Je vais essayer de faire la question suivante bien que jai des doutes sur mes capacités de la réussir ^^
.c. Écrire que le point Ω(a,b) appartient à (N) et en déduire qu'une relation (1) liant a, b et t est : (1) : at-bt = t^4-1
Écrire que le point Ω(a,b) appartient à (N) et en déduire qu'une relation (1) liant a, b et t est : (1) : at3 - bt = t4 - 1
JE n'arrive pas a trouver esque quelqu'un saurait comment faire ??
(1) at[/sup]3-bt=t[sup]4-1
(2)at[/sup]3+bt=1/2*(t[sup]4+1)
Comment peut on déduire des relatios (1) et (2) une représentations paramétrique quand t varie ????
(1) at3-bt=t4-1
(2)at3+bt=1/2*(t4+1)
Comment peut on déduire des relatios (1) et (2) une représentations paramétrique quand t varie ????
On a trouvé l'équation de (N) : t2x - y - t3 + 1/t = 0
Cela veut dire qu'un point de coordonnées (x, y) est sur N si et seulement si ses coordonnées (x, y) vérifient t2x - y - t3 + 1/t = 0
Donc 
(a,b) est sur (N) si et seulement si t2a - b - t3 + 1/t = 0
Il suffit de tout multiplier par t.
merci, j'avais fini par trouver dans l'après midi, j'ai ensuite avancer dans l'exercice, ensuite il s'agit de courbe paramétrique, on a :
x(t)=(3t4-1)/4T3 et y(t)=(-t4+3)/4t avec t dans R*
j'ai ensuite prouver que la courbe avit deux symétrie, mais je bloque sur une question ou l'on me demande :
expliquer pourquoi on peut se contenter d'étudier les variations de x(t) et y(t) quand le paramètre t appartient à l'intervalle ]0,1]
merci, j'avais fini par trouver dans l'après midi, j'ai ensuite avancer dans l'exercice, ensuite il s'agit de courbe paramétrique, on a :
x(t)=(3t4-1)/4T3 et y(t)=(-t4+3)/4t avec t dans R*
j'ai ensuite prouver que la courbe avit deux symétrie, mais je bloque sur une question ou l'on me demande :
expliquer pourquoi on peut se contenter d'étudier les variations de x(t) et y(t) quand le paramètre t appartient à l'intervalle ]0,1]
Si on change t en -t, x est changé en -x et y est changé en -y.
Donc (en vecteurs) OM(-t) = - OM(t) : le point correspondant à t est le symétrique par rapport à l'origine de celui correspondant à -t.
Il suffit donc de se limiter à t > 0 et de faire une symétrie de la courbe obtenue par rapport à O.
Mais il y a mieux.
Si on change t en 1/t, x est changé en y et y en x.
x(1/t) = y(t) et y(1/t) = x(t).
Autrement dit les points M(t) et M(1/t) sont symétriques par rapport à la première diagonale (la droite y = x).
Quand t varie de 0 à 1, 1/t varie de +
à 1.
Il suffit donc de se limiter à faire varier t dans l'intervalle ]0, 1] et de faire une symétrie par rapport à la droite y = x.
merci j'avais bien fait les simétrie mais j'arrivai pas a déduire l'intervalle ]0;1] je comprend mieux maintenant.
J'ai ensuite tracer le tableau de variation mais je bloque sur la figure, , en faite j'ai l'hyperbole de tracer sur une courbe ainsi que c'est deux bissectrices, qui divises en quatre parties l'hyperbole. on les appelles "to"1 "to"2 "to"3 et "to"4
voilà la question, mais bon sans courbe sa va être délicat :
6. Voici (fig.2) dans le repère orthonormé (O;i, j) les graphes de (H) en pointillé et de (Γ) en gras,et les première et deuxième bissectrices.Les deux branches de (Γ) sont divisées par la première bissectrice en 4 parties (1),(2 ) limitéespar A, (3 ) , (4 )limitées par B
a) préciser en le justifiant la partie de "to" obtenue quand t compris ]0,1]
sayait j'ai réussi il s'agit de "to"1
par contre la je suis perdu sur une autre question ou l'on me demande de déterminer les paramètres t1 et t2 des points doubles P1, P2, (ituliser le fait qu'ils sont invariants si on change t en -1/t. On ramènera leur recherche à la résolution de l'équation T3-3T2+1=0 , de racine évidente -1, et on justifira qu'il n'y a que deux points doubles, et que t2=&/t1.
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