Salut à tous, je bloque comme un malade sur un exercice sur les théories des ensembles. J'ai déjà répondu à plusieurs questions, mais je suis pas du tout sûr de moi, toute réponse est la bienvenue.
Contrôles continus de Logique et Théorie des Ensembles


TP noté

QUESTION 1 (2 pts)
Soit la proposition P :  .
Quelle est la négation de P ?

Réponse :  (x,y)   IR²/   ,  z  IR(+)      xy  0       xz   y






QUESTION 2 (2 pts)
Ecrire en extension (c'est-à-dire : donner la liste de tous les éléments) le produit cartésien BxA sachant que A = { -1, 0, 1} et B = { 0, 2}

Réponse : (0,-1)(2,-1)   (0,-1)(2,0)   (0,-1)(2,1)   (0,0)(2,-1)   (0,0)(2,0)   (0,0)(2,1)   (0,1)(2,-1)   (0,1)(2 ,0)   (0,1)(2,1)
                  



      
QUESTION 3 (2 pts)
On considère deux applications f et g de N dans N données par
                       f(n) = n + 2             g(n) = n2  
Donnez l'expression algébrique des fonctions gοf(n) et fοg(n)

Réponse : g  « rond »  f  =  (n+2)²

                f « rond » g =  n² + 2






QUESTION 4 (2pts)
On considère l'ensemble E = { x1,x2,x3} et l'application f de E dans E définie par f(x1) = x2,
f(x2) =  x3, f(x3) =  x2.

a) Déterminer les antécédents par f de chacun des éléments de l'ensemble E.
b) L'application f est-elle injective? (Justifier).
c) L'application f est-elle surjective? (Justifier).

Réponse : a) Les antécédents par f de x2 sont f(x1) et f(x3).
                     L'antécédent par f de x3 est f(x2).
                     x1 n'a, quant à lui, pas d'antécédent par f.

                 b) Non, l'application f n'est pas injective car pour qu'elle soit injective il faut que pour tout éléments deux à deux distincts de l'ensemble E, correspondent deux images distinctes par f. Or ce n'est pas le cas ici puisque x2 à deux antécédents par f.

                  c)Oui, f est surjective car pour tout éléments x appartenant à l'ensemble E, il existe au moins un antécédent y appartenant à l'ensemble d'arrivé (ici, l'ensemble E) tel que  f(x) = y.




QUESTION 5 (2 pts)
Soit la relation binaire R définie sur l'ensemble des réels par :
.
Quelles sont les propriétés de cette relation ?
Est-ce une relation d'ordre ? Est-ce une relation d'équivalence ?

Réponse : -     R est une relation binaire antisymétrique car si n = 0 on a xRy et yRx => x = y
- R est une relation binaire réflexive car pour tout x appartenant à IR, on a :
      xRx
- R est une relation binaire transitive car si xRz et xRy => xRy

Cette relation est donc une relation d'ordre puisqu'elle est antisymétrique, réflexive et transitive.



QUESTION 6 (4 pts)
Montrer par un raisonnement par l'absurde que la somme d'un nombre rationnel et d'un irrationnel est un irrationnel (on rappelle qu'un nombre rationnel est le quotient de deux nombres entiers relatifs).

Réponse : Soit a, b, c, d  des entiers naturels (IN) différent de zéro.

On a : a/b  +     =  d
          
           a +    = bd

            =  bd - a !
Or, une somme d'entiers naturels (IN) ne peut donner un irrationnel ! Donc la proposition est absurde, par conséquent elle ne peut être fausse, donc d'après le raisonnement par l'absurde, la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est un irrationnel.





QUESTION 7 (2pts)
Simplifier la formule  .

Réponse : a +   b = a*a(barre) + ab = ab
Car  a*  = 0


QUESTION 8 (4 pts)
a) Donner la table de vérité de la fonction booléenne f(a,b,c)=ā+bc
b) Ajouter les colonnes des mintermes et des maxtermes de (a,b,c) à la table de vérité de f
c) Donner, grâce à cette table complétée, les formes canoniques disjonctive (fd) et conjonctive (fc) de f.


a)
a
b c f(a,b,c) m M
0 0 0 1
m0=    

M7=a+b+c
0 0 1 1
m1=  c                      

M6=a+b+
0 1 0 1
m2= b

M5=a+ +c
0 1 1 1
m3= bc

M4=a+ +
1 0 0 0
m4=a  

M3= +b+c
1 0 1 0
m5=a c

M2= +b+
1 1 0 0
m6=ab

M1= + +c
1 1 1 1
m7=abc
M0= + +


c) Forme canonique disjonctive : f(a,b,c) = (    ) + (  c) + ( b ) + ( bc) + (abc)

Forme canonique conjonctive : f(a,b,c) =  ( +b+c)*(  +b+ )*( + +c)