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Produit de matrice

Posté par
H_aldnoer 27-10-09 à 14:57

Bonjour,

je cherche à trouver le coefficient de la matrice \Large ^tAA lorsque \Large A\in M_{n,p}(\mathbb{R})

Je sais que si \Large A=(a_{ij}) avec \Large 1\le i\le n et \Large 1\le j\le p et \Large B=(b_{ij}) avec \Large 1\le i\le p et \Large 1\le j\le n alors \Large AB=(\Bigsum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}) avec \Large 1\le i\le n et \Large 1\le j\le n.

Ici je trouve donc que \Large ^tAA=(\Bigsum_{k=1}^na_{jk}a_{ki})Co, mais visiblement, je me trompe!
Help! Merci.

Posté par
Camélia Correcteurre : Produit de matrice 27-10-09 à 15:02

Bonjour

Il y a une confusion quelque part! ^{t}AA est une matrice p\times p! Alors qu'appelles tu coefficient?

Ta formule de AB te donne le terme de la i-ème ligne et de la j-ème colonne de AB.

Posté par
H_aldnoerre : Produit de matrice 27-10-09 à 15:08

Oups! Oui, en fait j'ai une somme jusqu'à p et dans le corrigé, jusqu'à n!
Je cherche le coefficient à la ligne i et la colonne j.

Posté par
Camélia Correcteurre : Produit de matrice 27-10-09 à 15:12

Non, non, la somme est bien jusqu'à n!

Alors soit c_{i,j} le coefficient i,j de {}tAA. On a

c_{i,j}=\sum_{k=1}^na_{k,i}a_{k,j}

ce qui est sympathique pour les termes diagonaux: (ceux pour lesquels i=j)

Posté par
H_aldnoerre : Produit de matrice 27-10-09 à 15:18

Voici la question dans son intégralité :
Il s'agit de prouver que si \Large X_1,...,X_p sont p vecteurs de E et si \Large A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) tel que les colonnes soient les composantes des vecteurs \Large X_i, alors G(X_1,...,X_p)=^tAA, où G est la matrice de Gram.

Alors le corrigé donne ^tAA = (\Bigsum_{k=1}^ne^*(X_i)e^*(X_j)) avec \Large 1\le i\le n et \Large 1\le j\le n.

Je ne vois pas comment trouver cela!
Donc je voulais écrire \Large ^tAA de manière générale. Mais je n'y arrive pas.

Posté par
H_aldnoerre : Produit de matrice 27-10-09 à 15:20

Voila Camélia, c'est justement ça que je ne comprends pas! Comment trouves-tu cij?

Posté par
Camélia Correcteurre : Produit de matrice 27-10-09 à 15:31

Bon, on l'a déjà!

Apparemment ils veulent noter les vecteurs en colonne, alors pour ne pas me tromper, je pose
X_j=\(x_{1,j}\\ \vdots x_{n,j}\)

Donc
A=(x_{i,j})_{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq p}

Alors
{}^tA=(y_{i,j})_{1\leq i\leq p\\ 1\leq j\leq n} avec y_{i,j}=x_{j,i}

{}tAA=(z_{i,j})_{1\leq i\leq p\\ 1\leq j\leq p}

avec

z_{i,j}=\sum_{k=1}^ny_{i,k}x_{k,j}=\sum_{k=1}^nx_{k,i}{x_{k,j}=< X_i, X_j >

Posté par
H_aldnoerre : Produit de matrice 27-10-09 à 15:34

Parfait!
J'avais pensé à autre chose aussi, m

Posté par
H_aldnoerre : Produit de matrice 27-10-09 à 15:42

mais je ne sais pas si ça va plus vite :

G et tAA sont des matrices p\times p[\tex]. Pour montrer l'égalité, on peut montre que la colonne C<sub>j</sub> de la première matrice est égale à celle de la deuxième, pour tout [tex]\Large 1\le j\le p.

On obtient donc \begin{pmatrix}<x_1,x_j>\\<x_2,x_j>\\...\\<x_p,x_j>\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\...\\a_{pj}\end{pmatrix} où x_j=\Bigsum_{i=1}^p a_{ij}e_i.

Mais je ne m'en suis pas sortit

Posté par
Camélia Correcteurre : Produit de matrice 27-10-09 à 15:47

Il y a peut-être quelque chose à faire, mais très dangereux! Tu vois, à mon age, pour une histoire de ce genre j'écris vraiment tout, en précisant bien où sont les indices... une énormité est vite arrivée!

Posté par
H_aldnoerre : Produit de matrice 27-10-09 à 15:51

Ok! Par contre, peux-tu m'expliquer d'ou viennent les éléments de la base dual dans mon expression de tAA plus haut ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Produit de matrice 27-10-09 à 16:12

C'est tout simplement une manière (plutôt compliquée) de noter les coordonnées d'un vecteur.
Si
X=x_1e_1+...+x_ne_n, alors e^*_i(X)=x_i

Posté par
H_aldnoerre : Produit de matrice 28-10-09 à 11:31

Merci infiniment.


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