(Re)Bonjour
As tu deja entendu parlé de contenu? Si oui sais tu que c(PQ)=c(P)c(Q)?

ReBonjour,

on m'a très vite fait parlé de contenu dans un cours du semestre dernier, et on m'a effectivement donné la proprieté dont tu parles, sans démonstration.

Sinon entre temps, des recherches sur Internet m'ont amené à consulter la page 77 du Perrin, où on énonce un "théorème de réduction" qui répondrait à la question... C'est bizarre parce que je n'ai pas vu ce théorème en cours et que c'est un exo de TD...

Ben le fait que le contenu de PQ soit le produit des contenus est plus ou moins equivalent a l'ennoncé que tu cherche a démontrer... Essaie de t'en servir.

Ou alors redemontre le, tu ecrit que P (et Q) est le produit d'un polynome a coeff entier, primitif (le pgcd de ses coeff est 1), par un rationnel. maintenant montre que le produit de deux polynomes primitifs est primitif, conclut...

D'accord pour la démo de ce que mon prof avait appelé "le lemme de Gauss", mais je ne vois pas trop le rapport avec mon exo.

Au fait, le contenu c'est le pgcd des coefficients du polynôme, mais comment est-ce défini pour un polynôme à coefficients rationnels ? On mets tout sur le même dénominateur, et on dit que le contenu du polynôme, c'est le contenu du numérateur ?

Ya plusieurs façons de le faire...en fait on voit bie ce que c'est pour un polynome a coeff entier, et pour un polynome a coeff dans Q (ou dans le corps des fractions d'un anneau factoriel) on dit que ton polynome s'ecrit P=cP' ou P' est dans Z[X] primitif et c dans Q (resp P' dans A[X] primitif et c dans Frac(A)), et c est unique a multiplication par plus ou moins 1 pres (resp par un inversible de A) et c'est ce c qu'on appelle le contenu.

Grace a ca on est ramené a tout démontrer sur Z, donc si tu montre que le produit de deux polynomes primitifs est primitf c'est fini, car c(PQ)=1=c(P)c(Q)c(P'Q')=c(P)c(Q).

Tu en deduis facilement ton resultat.

Donc le seul point a montrer est que le produit de deux polynomes primitifs est aussi primitfs...c'est pas tres dur.

D'accord, je pense que c'est OK pour la démo du lemme de Gauss, je suis allé faire un tour sur Internet pour la lire. Mais concernant notre problème : P et Q sont des polynômes unitaires rationnels, et leur produit est un polynôme entier. On peut donc écrire que c(P)c(Q) est un entier, mais après ? Je ne vois pas comment utiliser ce lemme pour arriver à nos fins...

Ben le contenu de ton polynome P c'est qqch du style 1/c pareil pour ton polynome Q disons 1/d, alors le contenu de PQ c'est 1/cd et ca doit etre 1 donc c=d=1

D'accord, je viens enfin de finir de rédiger une démonstration qui me convient. Merci de ton aide !