Bonjour

C'est ni plus ni moins une identité de polarisation.

Ah oui effectivement, je n'avais même pas fait le lien... En quoi puis-je l'utiliser ?

En fait on a un résultat qui dit que toute norme vérifiant l'identité d'un parallélogramme dérive d'un produit scalaire.

Donc là visiblement t'es dans un espace préhilbertien et l'identité de polarisation te donne directement (x|y) = 1/4[ ||x+y||²+||x-y||² ]

Malheureusement c'est ce résultat qu'il faut que je démontre, que toute norme vérifiant l'identité du parallélogramme dérive d'un produit scalaire...

Dans la question, il est précisé qu'il faut utilisé le fait que f(x+x',y) = f(x,y) + f(x',y) pour montrer la linéarité selon x.
Par récurrence, c'est facile de montrer que f(ax,y) = af(x,y) pour a entier naturel.
Mais je n'arrive pas a étendre ce résultat pour tout réel.

Ah d'accord j'ai mal lu les hypothèses, je vais manger et je t'explique comment procéder.

Bonjour
Par symetrie il suffit de prouver la linéarité en x, montre que c'est additif, puis tu en déduis le résultat par un résultat classique (une fonction conitnue additive de R dans R est une homotetie).

L'additivité se prouve par un petit calcul ou il faudra utiliser l'identité du parallélogramme 2 fois.

Ah ben si tu as deja montré que ton application etait additive c'est tout simple regarde g:R->R qui a t associe f(tx,y), elle vérifie g(t+h)=g(t)+g(h) et est continue, c'est pas dur de prouver que c'est une homothétie (par densité des dyadiques par exemple)

désolé d'interférer dans la discussion.
J'ai un sujet a peu pres similaire mais je suis bloqué pour montrer que .j'ai reussi a montrer que ||x+y||²=||x||+||y||+2f(x,y) en pensant que sa m'aiderais mais finalement je suis toujour bloqué. merci d'avance.

Salut,
tu t'es trompé parce qu'il manque des carrés, mais c'est surement parce que tu as mal recopié.

Tu as une bonne idée,
calcule
||x+x'+y||^2 de deux facones différentes

|| (x+x') + y ||^2 et développe .

|| x + (x'+y)||^2 et développe 2 fois

tu devrais trouver

||x||^2 + ||x'||^2 + ||y||^2 + 2f(x+x',y)

et
||x||^2 + ||x'||^2 + ||y||^2 + 2f(x,y) + 2f(x',y)

si je ne me suis pas trompé.

a+

Oups, me serais-je trompé finalement ?
J'ai l'impression que oui, mais ca semble être une idée à creuser.

Désolé mais en développant, je n'arrive a rien.