Bonjour.

Ton raisonnement est bon seulement si la base est orthonormale pour le produit scalaire

le problème est que en calculant le <> pour une base () je trouve toujours que la matrice est I_n... je dois oublier quelque chose d'important dans l'affaire...

Bonjour.

Comment trouves-tu que ? C'est faux si la base n'est pas orthonormée ...
Le produit scalaire étant quelconque, on ne peut pas dire grand chose, mis à part que c'est l a somme du produit des coordonnées, mais des coordonnées dans une base orthonormée pour le produit scalaire !

d'accord je divaguais ... et pour le produit scalaire canonique pourquoi est différent de   dans une base quelconque ?

on a bien le produit scalaire canonique <x,y> = somme du produit des coord.de x et y dans une base quelconque?

Non ça peut être n'importe quel produit scalaire !

Soit IR² muni de sa base canonique B : e₁(1,0) , e₂(0,1).

Si X(x,y) X'(x',y') sont deux éléments de IR², considérons la forme bilinéaire symétrique f définie par :

f(X,X') = 2xx' + 2yy' + xy' + x'y

f définit un produit scalaire sur IR² et :

je fais un petit bilan :

Dans une base orthonormée pour un produit scalaire quelconque, celui-ci est représentée par dans cette base, et <x,y> = somme du produit des coordonnées de x et y. (je suis d'accord)

Je voudrais savoir si le produit scalaire canonique = somme du produit des coordonnées de x et y dans une base quelconque.. , et si ceci est vrai ça veut bien dire qu'il est représenté par dans une base quelconque..?

qu'en pensez-vous?

Cela ne semble pas très clair.

As-tu vu mon exemple ?

oui je suis d'accord avec cet exemple, il montre qu'un produit scalaire quelconque n'est pas forcément représenté par dans la base canonique.

Mais que peut t-on dire sur le produit scalaire canonique?

Oui, le produit scalaire canonique est représenté par

Ce qui semble te perturber est le fait suivant.

Considérons un produit scalaire f quelconque dans IRⁿ. Sa matrice A sera quelconque (quand même symétrique à valeurs propres strictement positives).

Si l'on munit IRⁿ d'une base B' f-orthonormale, alors Mat(f,B') =

le produit scalaire canonique est bien la somme du produit des coord. de x et y ,dans n'importe quelle base
et représenté par ,
dans n'importe quelle base? ( pas seulement la base canonique)

je pense plutot que c'est valable que dans la base cano. mais je ne suis pas sur

il n'y a plus que ce point qui est trouble

Le produit scalaire dit "canonique" est :



Mais les coordonnées de X et de Y qui servent à effectuer le calcul sont leurs coordonnées dans la base canonique qui est orthonormale pour (.|.)

je retire ma question bizarre , merci beaucoup pour ces précisions c'est très clair maintenant !!!

Bonne soirée.

d'accord c'est ma question qui n'avait pas trop de sens ! merci !

bonne apremm.

Bonjour
dans R² avec le produit scalaire canonique et la base canonique (i,j), changeons de base : u = i+j, v=i-2j

alors dans la base (u,v), quelle sera la matrice du produit scalaire canonique ? tu penses toujours

Citation :
le produit scalaire canonique est bien la somme du produit des coord. de x et y ,dans n'importe quelle base
et représenté par ,
dans n'importe quelle base? ( pas seulement la base canonique)

effectivement ma question était bête!

Une question n'est que rarement bête : se la poser aide à clarifier sa pensée, à réordonner ce qu'on sait.