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Niveau première
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Produit Scalaire

Posté par
arthur10 17-05-16 à 20:49

Bonjour je n'arrive pas à résoudre mon dm, pourrais-je avoir de l'aide?
Dm:
Formule de Cauchy Schwarz:
Soient et deux vecteurs du plan
1. Montrer que pour tout réel :
                          t+²=t²²+2t.+²
2. Pourquoi peut-on affirmer que le polynôme du second degrés
                            P: tt²²+2t . +²
admet un discriminant négatif ou nul?
Quel est le signe, sur de P(t)?
3. Montrer alors que ( . )²² .  ²
4. En déduire la formule de Cauchy-Schwarz, valable pour tous vecteurs et :
(.) .

Merci d'avance

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 17-05-16 à 21:49

Salut,

1) Reviens à la définition de la norme :

||t\vec{u}+\vec{v}||^2=\big(t\vec{u}+\vec{v},t\vec{u}+\vec{v}\big) \\

2) Remarque que ||t\vec{u}+\vec{v}||^2\ge 0 pour tout réel t

3) découle directement de 2)

4) découle directement de 3)

Sauf erreurs

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 21:52

Pourrait tu détaillé plus?
Merci beaucoup déjà

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 22:07

***citation inutile supprimée***

Pourrait tu répondre au question pour comprendre mieux car cela m'a peut aidé
Merci déjà pour l'aide

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 17-05-16 à 22:17

Non, mais je peux commencer le développement. A toi de faire le reste, ou d'essayer au moins :

\big(t\vec{u}+\vec{v},t\vec{u}+\vec{v}\big)=\big(t\vec{u},t\vec{u}+\vec{v}\big)+\big(\vec{v},t\vec{u}+\vec{v}\big)

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 22:29

J'ai fais : (t+)² =(t+)  .  (t+)      Grâce aux identités remarquables (a+b)²+a²+2ab+b² on a donc  t²²+2t  .  +²  est ce que cela est bon?    Je bloque toujours à la question 2 :/ :

Iderden @ 17-05-2016 à 22:17

Non, mais je peux commencer le développement. A toi de faire le reste, ou d'essayer au moins :

\big(t\vec{u}+\vec{v},t\vec{u}+\vec{v}\big)=\big(t\vec{u},t\vec{u}+\vec{v}\big)+\big(\vec{v},t\vec{u}+\vec{v}\big)

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 17-05-16 à 22:35

Je ne comprends pas où tu utilises l'identité remarquable.
Tout dépend de ce que tu connais sur le produit scalaire ...

\big(t\vec{u}+\vec{v},t\vec{u}+\vec{v}\big)=\big(t\vec{u},t\vec{u}+\vec{v}\big)+\big(\vec{v},t\vec{u}+\vec{v}\big)=\big(t\vec{u},t\vec{u}\big)+\big(t\vec{u},\vec{v}\big)+\big(\vec{v},t\vec{u}\big)+\big(\vec{v},\vec{v}\big)

Tu sais continuer ?

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 22:42

Iderden @ 17-05-2016 à 22:35

Je ne comprends pas où tu utilises l'identité remarquable.
Tout dépend de ce que tu connais sur le produit scalaire ...

\big(t\vec{u}+\vec{v},t\vec{u}+\vec{v}\big)=\big(t\vec{u},t\vec{u}+\vec{v}\big)+\big(\vec{v},t\vec{u}+\vec{v}\big)=\big(t\vec{u},t\vec{u}\big)+\big(t\vec{u},\vec{v}\big)+\big(\vec{v},t\vec{u}\big)+\big(\vec{v},\vec{v}\big)

Tu sais continuer ?

Je ne comprend pas ton raisonnement pour la première question, mais le mien me parait juste..?
Pourrait tu m'aider pour la deux.?

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 17-05-16 à 22:45

Le tien n'est pas juste, et l'identité remarquable ne s'adapte pas au produit scalaire. D'ailleurs, qui serait a, qui serait b ?

J'utilise la bilinéarité du produit scalaire, mais qu'on te donne un exercice sur ça sans que tu saches ce que c'est, ou du moins comment l'utiliser (pour développer), est à mon sens une perte de temps.

Bref.

Pour la 2), que peux-tu dire du signe de P(t)=||t\vec{u}+\vec{v}||^2 ?

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 22:48

***citation inutile supprimée***
P(t) est positif?

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 22:49

***citation inutile supprimée***
P(t) est positif puisque on a le signe +???

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 17-05-16 à 22:54

Oui, pour tout réel t, P(t) \ge 0

Le polynôme P est donc de signe constant.

Souviens-toi des tableaux de signes pour les polynômes du second degré : dans quels cas le polynôme est-il toujours de signe constant ?

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:00

Lorsque le discriminant est plus petit ou égal à 0

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:03

Donc le signe sur de P(t) est 0 ???

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:04

Toutafé !

Pour la 3), que vaut le discriminant \Delta de P(t) ?

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:04

Iderden @ 17-05-2016 à 22:54

Oui, pour tout réel t, P(t) \ge 0

Le polynôme P est donc de signe constant.

Souviens-toi des tableaux de signes pour les polynômes du second degré : dans quels cas le polynôme est-il toujours de signe constant ?


Lorsque le discriminant est plus petit ou égal à 0
Donc le signe sur de P(t) est 0 ???

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:06

Sur \mathbb{R}, P(t) \ge 0 donc \Delta \le 0

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:08

La 3 n'a rien à voir avec la 2???

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:08

Si, bien sûr.

Que vaut \Delta ?

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:10

La question c'est : montrer alors que |  .  |   .  

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:14

Non, ça c'est la question 4).

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:16

Bah du coup pour moi c'est la 3,
Euh ... bah le signe sur de P(t)0 donc discriminant0 c'est ca ?

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:20

On l'a déjà dit. Maintenant, il faut calculer \Delta.

De manière générale, pour P(t)=at^2+bt+c, le discriminant \Delta est défini par \Delta=b^2-4ac  (*)

Ici, P(t)=t^2||\vec{u}||^2+2t\big(\vec{u},\vec{v}\big)+||\vec{v}||^2

P(t) est un polynôme du second degré de la variable t.

Par identification avec (*), qui sont a, b et c ?

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:25

a=t b=2 c=1

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:33

a, b et c sont des coefficients : ils ne peuvent pas être égaux à la variable t !

Je l'écris autrement :

\\ P(t)=||\vec{u}||^2t^2+2\big(\vec{u},\vec{v}\big)t+||\vec{v}||^2 \\

Qui est le coefficient devant t^2 ?

Qui est le coefficient devant t ?

Qui est le coefficient restant ?

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:35

a=²
b=2 .
c=²

??

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:38

Sur quelle question est-tu?

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:39

On avance !

a=||\vec{u}||^2, b=2\big(\vec{u},\vec{v}\big)  (et non avec une norme hein !), c=||\vec{v}||^2

Comme \Delta=b^2-4ac, calcule maintenant \Delta avec ce que tu viens de trouver.

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:40

On traite la 3) !!!! Tu en as besoin pour la 4)

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:48

Iderden @ 17-05-2016 à 23:39

On avance !

a=||\vec{u}||^2, b=2\big(\vec{u},\vec{v}\big)  (et non avec une norme hein !), c=||\vec{v}||^2

Comme \Delta=b^2-4ac, calcule maintenant \Delta avec ce que tu viens de trouver.


\Delta = ( 2 ( vec{u}. \vec{v})  )² -4( ||\vec{u}||² * ||\vec{v}||² )

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:49

Mais après ca je suis bloque

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:52

Oui, autrement dit, en distribuant le carré :

\Delta=4\big(\vec{u},\vec{v}\big)^2-4||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2

Mais tu as montré que \Delta \le 0 (question 2). On obtient donc l'inégalité suivante :

4\big(\vec{u},\vec{v}\big)^2-4||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2\le 0

On divise tout par 4 pour obtenir :

\big(\vec{u},\vec{v}\big)^2-||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2\le 0

Et enfin, en dégageant un terme à droite, il vient :
\\ \\ \big(\vec{u},\vec{v}\big)^2 \le ||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2

C'est compris ?

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:54

Oui d'accord je comprend mieux, merci énormément et donc pour la 4 on fait la racine carrée?

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:56

Exactement, mais en précisant quelque chose de vital :

La fonction racine carrée est croissante sur l'ensemble des réels positifs : en passant à la racine carrée, l'inégalité n'est donc pas changée.

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 17-05-16 à 23:59

donc en réponse à la 4 je met: "la formule de Cauchy-Schwarz est la racine carrée de (équation réponse 3), de plus en passant à la racine carrée, l'inégalité n'est donc pas changée." cela suffira?

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 18-05-16 à 00:01

Non : on dit que la fonction racine carrée est croissante sur \mathbb{R}_+, puis on prends la racine carrée de chaque membre de l'inégalité de la question 3).

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 18-05-16 à 00:02

Je n'ai pas compris :/

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 18-05-16 à 00:05

Fais un effort. Tout est dit.

Pour faire simple, pour passer de A^2 \le B^2 à A \le B, on prend la racine carrée de chaque membre de la première inégalité, ça tu seras d'accord.

Mais pour justifier que le sens de l'inégalité ne change pas, il faut préciser pourquoi : c'est grâce au fait que la racine carrée est une fonction croissante (c'est du cours, ainsi que cette justification).

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 18-05-16 à 00:08

donc pour la réponse à la question ' je met: Pour trouver cette inéquation il suffit de faire la racine carrée de chacun des chacun ds membres... Le sens de l'inéqualité n'est pas changé car la fonction racine carrée est croissante sur l'enseble des réels positifs et donc l'inégalité ne change pas" ?

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 18-05-16 à 00:13

A^2\le B^2 donc A\le B car ...

J'arrête là, tout a été dit. A toi de faire le reste.

Bonne nuit

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 18-05-16 à 00:14

A²B² donc AB car la fonction racine carrée est croissante sur l'enseble des réels positifs donc l'inégalité ne change pas      ???

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 18-05-16 à 00:15

Oui  
Revois le cours, ça t'aidera !

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 18-05-16 à 00:16

Merci beaucoup, donc la réponse pour la 4 est complète?
Merci merci merci

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 18-05-16 à 00:18

Oui elle est complète. C'est noté ?

Posté par
arthur10re : Produit Scalaire 18-05-16 à 00:18

Oui merci encore mille fois

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 18-05-16 à 00:21

De rien

Posté par
valparaisore : Produit Scalaire 18-05-16 à 09:06

Bonjour à tous
Iderden : quand tu dis "reviens à la définition de la norme" tu veux dire ||\vec{u}||^{2}=\vec{u}^{2}

Posté par
valparaisore : Produit Scalaire 18-05-16 à 09:06

?
Merci

Posté par
Iderdenre : Produit Scalaire 18-05-16 à 14:23

Salut,

||\vec{u}||^2=\big(\vec{u},\vec{u}\big)

Posté par
valparaisore : Produit Scalaire 18-05-16 à 15:36

Je ne comprends pas trop.
Tu veux dire \vec{u}.\vec{u}?

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