Bonjour je n'arrive pas à résoudre mon dm, pourrais-je avoir de l'aide?
Dm:
Formule de Cauchy Schwarz:
Soient et deux vecteurs du plan
1. Montrer que pour tout réel :
t+²=t²²+2t.+²
2. Pourquoi peut-on affirmer que le polynôme du second degrés
P: tt²²+2t . +²
admet un discriminant négatif ou nul?
Quel est le signe, sur de P(t)?
3. Montrer alors que ( . )²² . ²
4. En déduire la formule de Cauchy-Schwarz, valable pour tous vecteurs et :
(.) .
Merci d'avance
Salut,
1) Reviens à la définition de la norme :
2) Remarque que pour tout réel
3) découle directement de 2)
4) découle directement de 3)
Sauf erreurs
***citation inutile supprimée***
Pourrait tu répondre au question pour comprendre mieux car cela m'a peut aidé
Merci déjà pour l'aide
J'ai fais : (t+)² =(t+) . (t+) Grâce aux identités remarquables (a+b)²+a²+2ab+b² on a donc t²²+2t . +² est ce que cela est bon? Je bloque toujours à la question 2 :/ :
Je ne comprends pas où tu utilises l'identité remarquable.
Tout dépend de ce que tu connais sur le produit scalaire ...
Tu sais continuer ?
Le tien n'est pas juste, et l'identité remarquable ne s'adapte pas au produit scalaire. D'ailleurs, qui serait a, qui serait b ?
J'utilise la bilinéarité du produit scalaire, mais qu'on te donne un exercice sur ça sans que tu saches ce que c'est, ou du moins comment l'utiliser (pour développer), est à mon sens une perte de temps.
Bref.
Pour la 2), que peux-tu dire du signe de ?
Oui, pour tout réel ,
Le polynôme est donc de signe constant.
Souviens-toi des tableaux de signes pour les polynômes du second degré : dans quels cas le polynôme est-il toujours de signe constant ?
On l'a déjà dit. Maintenant, il faut calculer .
De manière générale, pour le discriminant est défini par (*)
Ici,
est un polynôme du second degré de la variable .
Par identification avec (*), qui sont , et ?
, et sont des coefficients : ils ne peuvent pas être égaux à la variable !
Je l'écris autrement :
Qui est le coefficient devant ?
Qui est le coefficient devant ?
Qui est le coefficient restant ?
On avance !
, (et non avec une norme hein !),
Comme , calcule maintenant avec ce que tu viens de trouver.
Oui, autrement dit, en distribuant le carré :
Mais tu as montré que (question 2). On obtient donc l'inégalité suivante :
On divise tout par pour obtenir :
Et enfin, en dégageant un terme à droite, il vient :
C'est compris ?
Exactement, mais en précisant quelque chose de vital :
La fonction racine carrée est croissante sur l'ensemble des réels positifs : en passant à la racine carrée, l'inégalité n'est donc pas changée.
donc en réponse à la 4 je met: "la formule de Cauchy-Schwarz est la racine carrée de (équation réponse 3), de plus en passant à la racine carrée, l'inégalité n'est donc pas changée." cela suffira?
Non : on dit que la fonction racine carrée est croissante sur , puis on prends la racine carrée de chaque membre de l'inégalité de la question 3).
Fais un effort. Tout est dit.
Pour faire simple, pour passer de à , on prend la racine carrée de chaque membre de la première inégalité, ça tu seras d'accord.
Mais pour justifier que le sens de l'inégalité ne change pas, il faut préciser pourquoi : c'est grâce au fait que la racine carrée est une fonction croissante (c'est du cours, ainsi que cette justification).
donc pour la réponse à la question ' je met: Pour trouver cette inéquation il suffit de faire la racine carrée de chacun des chacun ds membres... Le sens de l'inéqualité n'est pas changé car la fonction racine carrée est croissante sur l'enseble des réels positifs et donc l'inégalité ne change pas" ?
A²B² donc AB car la fonction racine carrée est croissante sur l'enseble des réels positifs donc l'inégalité ne change pas ???
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