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produit scalaire dans le plan

Posté par
anyone 05-03-07 à 16:41

Bonjour !

J'aurai besoin d'aide pour un exo sur le produit scalaire dans le plan ..

ABCD est un quadrilatère. I et J sont les milieux respectifs des diagonales [AC] et [BD]
a) démontrer la relation : AB²+ BC²+ CD²+ DA² = BD²+ AC²+ 4IJ²

b) quelle relation entre les cêtés et les diagonales caractérise un parallélogramme ?

Je bloque pour la première question, je pense qu'il faut utiliser le théorème des médianes mais je n'y arrive pas.

Merci beaucoup

++

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : produit scalaire dans le plan 06-03-07 à 10:19

Bonjour,

Une méthode...

Appliquons 4 fois la propriété de la médiane :
AB² + BC² = 2BI² + (1/2)AC²
BC² + CD² = 2CJ² + (1/2)BD²
CD² + DA² = 2DI² + (1/2)AC²
DA² + AB² = 2AJ² + (1/2)BD²
-----------------------------
2(AB²+BC²+CD²+DA²) = 2(BI²+CJ²+DI²+AJ²) + AC² + BD² (*)

Or :
BI^2=(\vec{BJ}+\vec{JI})^2=\frac{1}{4}BD^2-\frac{1}{2}\vec{BD}.\vec{IJ}+IJ^2
CJ^2=(\vec{CI}+\vec{IJ})^2=\frac{1}{4}AC^2-\frac{1}{2}\vec{AC}.\vec{IJ}+IJ^2
DI^2=(\vec{DJ}+\vec{JI})^2=\frac{1}{4}BD^2+\frac{1}{2}\vec{BD}.\vec{IJ}+IJ^2
AJ^2=(\vec{AI}+\vec{IJ})^2=\frac{1}{4}AC^2+\frac{1}{2}\vec{AC}.\vec{IJ}+IJ^2

En reportant dans (*), il vient... le résultat cherché.

Nicolas

Posté par
anyonere : produit scalaire dans le plan 09-03-07 à 14:23

Merci mais je ne comprends pas comment arriver à BI²= 1/4BD²-1/2BD.IJ+ IJ² .. etc ..

Merci beaucoup !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : produit scalaire dans le plan 09-03-07 à 14:25

Il suffit pourtant de développer la parenthèse.
C'est une identité remarquable (a+b)² = ...
Puis remplacer BJ par (1/2)BD

Posté par
anyonere : produit scalaire dans le plan 09-03-07 à 14:43

merci ! j'ai compris ! et pour la relation relation entre les côtés et les diagonales qui caractérise un parallélogramme, je n'ai qu'à me baser sur la relation trouvée !

Bonne journée ! merci !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : produit scalaire dans le plan 09-03-07 à 14:47

Je t'en prie.

Posté par
anyonere : produit scalaire dans le plan 09-03-07 à 14:48

par contre, j'aurai besoin d'aide pour un autre exercice ?

abcd est un rectangle tel que AB = AD2
I milieu de [AB]
Démontrer que (BD) et (CI) sont perpendiculaires..
cela revient à démontrer que BD.CI = 0
Cependant, je ne vois pas comment faire.

Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : produit scalaire dans le plan 09-03-07 à 14:58

Merci de respecter les règles du forum : un exercice par topic.

Posté par
anyonere : produit scalaire dans le plan 09-03-07 à 14:58

désolé


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