Bonjour,

une figure dans un cas particulier pour un point M quelconque n'est pas un bon plan

mieux serait de choisir un point M autre que le point pi/4 de ce cercle trigo !!!



M étant la projection orthogonale de B sur (AM) (OAMB est en fait un rectangle !!) on a (cours)
etc

puis D étant la projection de M sur (AB) on a ce même produit scalaire qui est aussi égal à etc)


remarque : Pythagore n'a rien à faire là quand on parle de vecteurs :
Pythagore se démontre à partir du produit scalaire !!

La dernière question est une conséquence directe de la formule du produit scalaire à partir des coordonnées des vecteurs et des questions précédentes.




les coordonnées d'un point P sont par définition les nombres x et y
***scorie effacée***

ignorer la dernière scorie qui était en dehors de l'écran quand j'ai fait POSTER et qui aurait dû être effacée
(début d'une explication ratée)

Merci d'avoir fourni une meilleure figure, j'avais en effet mal placé M

Pour la 1), il faut utiliser une propriété telle que :
Dans un parallélogramme (marche également pour un rectangle),   et
Donc, cela se traduit sur la figure par .
M étant la projection orthogonale de B sur (AM), donc = .
=
=
=
=

Est-ce bon ?

oui.
sauf qu'il est inutile (et même néfaste vu qu'on a un point D dans la figure) de dire ce qu'il se passe dans "un parallélogramme ABCD" en général alors que le notre s'appelle AMBO
il suffit de dire que AMBO étant un parallélogramme (un rectangle) etc

Merci pour la 1.

c'est vrai que ce n'est pas trop évident à trouver cette méthode avec des produits scalaires...
surtout qu'il faut que je recommence tout vu que ça date d'il y a 15 jours !!

cette question 2 est assez simple :



mais AD = 1 !!! (rectangle, AB = OM = 1 cercle de rayon 1)

maintenant on utilise la question 1 pour "en déduire" (de ces deux façons d'écrire le produit scalaire ) la relation demandée pratiquement juste en l'écrivant ... (= de façon instantanée)

ensuite la deuxième formule ... : remarquer que
il suffit donc en partant de AD = OB² de justifier du signe
(= de justifier que A,B,D sont alignés et M est toujours entre A et B, ce qui est par construction vrai ou "assez évident")

Désolé pour le temps mis à répondre
J'arrive maintenant à comprendre un peu mieux,
comme on sait (à ce stade) que = OB², on ne doit garder que avec les projetés.

Le raisonnement a un rapport avec l'alignement des points ?

oui c'est AB =1

dans la question 2 il y a deux parties

- montrer que AD = OB²

- puis

je parle du signe qui distingue à partir de
AD = OB² * AB (en longueurs) de savoir si en vecteurs on a



ou bien




signe (à choisir) qui dépend du sens des deux vecteurs.
et donc de l'alignement (pour avoir le droit de passer en vecteurs, il faut qu'ils soient colinéaires) et de D entre A et B ou à l'extérieur (sens des vecteurs = signe)

Pour ce qui est de la colinéarité des vecteurs, on doit utiliser la projection, comme par exemple D est le projeté de M sur (AB) ?

Comme AB = 1, les calculs sont dans la continuité de la question précédente, qu'était AD = OB² ?

la colinéarité est triviale par construction : le point D est sur la droite (AB) par construction, de l'énoncé lui même.
il suffit juste de le dire dans la rédaction.

je ne comprend pas ton autre interrogation

de la seule colinéarité on en déduit que soit l'une (avec +) soit l'autre (avec -) et rien ne permet de dire à ce stade laquelle des deux serait la bonne !!

et le fait que D soit entre A et B
donne le sens des vecteurs et donc permet de choisir lequel est le signe correct.
et pareil il suffit de le dire dans la rédaction

et ces "petits truc anodins" doivent être dit explicitement dans la rédaction, sinon ça ne prouve rien du tout.

Comme D est le projeté orthogonal de M sur (AB), alors D [AB] (par construction)
On en déduit que les points A, D et B sont alignés et par conséquent, les vecteurs sont colinéaires.

Je sais qu'il y a deux sens disponibles, mais je pense qu'il faut utiliser
Je trouve cela étrange, car en "suivant" et , c'est positif verticalement (on se déplace vers le haut) et négatif horizontalement (on se déplace vers la gauche).

Je voulais dire dans mon autre interrogation que comme on a réussi à déduire précédemment que AD = OB², et que , cela ne change rien dans  .

Ça y est : comme les points A et B sont de part et d'autre de D, on doit utiliser
Je viens enfin de comprendre, j'ai oublié de réutiliser cette propriété, désolé

ce que tu as compris est exactement le contraire de ce qui est !!
(et en plus de ce qu'on te demande de prouver dans l'énoncé lui-même)

et ça c'est parce que tu rates complètement la signification de ce qu'est un vecteur et la différence entre nombres et vecteurs

est absurde, un vecteur ne peut pas être égal à un nombre.


et il ne faut pas utiliser ce qu'on demande de démontrer !!
utiliser ce qu'on doit démontrer pour le démontrer n'a jamais rien démontré du tout.

en plus tes histoires de vers le haut etc c'est du pipeau
M appartenant au cercle (entier) ces sens varieront selon la position de M

par contre on aura toujours D entre les points A et B

et donc les vecteurs et seront toujours de même sens (ou au pire nuls)

et donc par conséquent la relation qu'il faut choisir n'est pas



mais bien , comme demandé par l'énoncé.

ça fait un peu enfonçage de porte ouverte, parfaitement, parce que c'est "assez évident",
mais c'est cela qui doit être clairement présent à l'esprit
et exprimé clairement dans une vraie démonstration rigoureuse.

Mais concrètement cela ne doit pas répondre à la question je présume ?

**Je viens de répondre sans avoir lu ton post**

Le truc c'est que je n'arrive pas à faire le parallèle avec le cours pour écrire une démonstration rigoureuse.

Puisque est vecteur et n'est pas un nombre (), qu'est-ce qui nous donne le droit de l'ajouter pour passer de :

AD = OB²
à
?

Désolé si je tourne en rond, mais cela reste assez flou...

car , pas de vecteurs là dedans

maintenant et sont colinéaires (sur la droite (AB) et de même sens (car D est entre A et B)

donc il existe un nombre réel k > 0 (de même sens !!) tel que

et cette relation vectorielle se traduit par en longueurs , vu que k est positif

en comparant avec le facteur réel k > 0 est égal à

et par conséquent

voila une rédaction détaillée toute cuite.

Merci beaucoup pour cette explication, en fait, c'est simplement la propriété de la colinéarité des vecteurs, donc (presque) rien à voir avec le produit scalaire à proprement parler si j'ai bien compris .

le produit scalaire c'était pour démontrer les trucs d'avant
trucs qui ont servi maintenant pour "en déduire" la dernière relation vectorielle qui est effectivement "juste que de la colinéarité"

oui

et "graphiquement ça a l'air faux" est ... faux

graphiquement ça a l'air plausible

quand x ou y = 1, x³ ou y³ valent bien 1 et D est bien en l'un des points d'intersection du cercle avec les axes
idem pour x ou y = 0 vu que quand l'un vaut 0 l'autre vaut forcément 1

sinon x et y sont forcément < 1 en valeur absolue (cercle de rayon 1 !!)
et donc |x^n| < |x| quel que soit x et pareil pour y
et c'est parfaitement cohérent avec la position de D par rapport à celle de M

c'est à peu près tout ce qu'on peut tirer de "graphiquement"

Cela ne serait pas un point qui vérifie une équation de droites ?

non
c'est une astroïde.
mais de toute façon ce n'est pas ce qu'on demande.
on demande uniquement de prouver au final que si les coordonnées de M sont (x;y) alors celles de D sont (x^3; y^3) et c'est tout

et c'est la suite du calcul précédent et rien d'autre.



coordonnées du vecteur AB en fonction de x et y
valeur de OB² en fonction de x et y (facile OB = y, donc OB² = y²)
donc coordonnées de AD en fonction de x et y

et les coordonnées de A en fonction de x et y étant connues (facile aussi : A(x; 0))
on en tire les coordonnées de D et c'est tout

il faut en fait ne pas oublier que M n'est pas un point n'importe où dans le plan, de coordonnées (x; y) absolument quelconques, mais un point du cercle, et donc que x² + y² = 1

on peut donc remplacer là où ça nous arrange y² par 1-x² etc ...

(juste quelques lignes de calcul en tout, ni droites ni courbes ni rien que du calcul pur à partir de la dernière relation)

Je pense avoir trouvé :


Comme , on a :
dans le rectangle


On en déduit que



équivaut à

avec toutes ces variables ça fait pas mal fouillis et ça noie pas mal le poisson.

je te proposais de virer définitivement et complètement tes xA, xB etc
et de tout écrire directement en fonction de x et y et de rien d'autre.


B a pour coordonnées (0; y) (trivial)
donc on n'écrit pas de (xB; yB) on écrit directement (0; y) pour ce point
etc

mais les calculs doivent certainement revenir au même

perso je laisse OB² = y² et c'est tout, c'est plus propre pour obtenir l'ordonnée de D = l'ordonnée de A (0) plus l'ordonnée de B (y) multipliée par OB² = y² et donc en une demi ligne de tête l'ordonnée de D = y³
et ça évite tous tes développements compliqués.

ce n'est que pour l'abscisse de D qu'il faut remplacer y² par 1-x²
(démontré directement par Pythagore comme tu as fait mais une fois ce Pythagore rédigé c'est fini, on a la relation x² + y² = 1 et on en fait ensuite ce qu'on veut comme ça nous arrange sans revenir à ds noms de points)

et le développement quasiment de tête aussi :
vu que (de tête) le x-xy² obtenu directement et quasiment de tête de l'abscisse de D devient x(1-y²) = x³ quasiment de tête (en tout cas en l'écrivant directement sur la feuille de papier)

l'exo est donc terminé

il y aurait plein de choses à dire à propos de la courbe décrite par le point D quand M parcourt le cercle
comme je l'ai mentionné cette courbe s'appelle une astroïde et on la trouve dans des endroits les plus divers (portes de garages ou de bus, glissement d'une échelle le long d'un mur, point d'un cercle qui roule à l'intérieur d'un autre etc)
on peut démontrer que la droite AB est la tangente en D à cette courbe

et s'amuser pour observer tout ça avec Geogebra (en animant le point M) :

D'accord, merci beaucoup pour cet exercice.