Bonjour à tous je suis nouveau!

Je bloque complétement dès le début de ce Devoir Maison

En voici l'énoncé:
1.ABC étant un triangle quelconque, montrer que pour tout point M du plan
                              MA.BC+MB.CA+MC.AN=0
2.Ensuite, démontrer que les trois hauteurs d'un triangle sont concourrantes  

Je pense qu'il faut utilisé la relation de Chasles pour éclaté les vecteurs ne comportant pas de M en l'y insérant ( BC devient (BM+MC) puis CA devient (CM+MA) et AB qui devient (AM+MB)) et a partir de là je sèche complétementet donc votre aide serai la bienvenue

Merci d'avance!

Merci de ne pas répondre à ce nouveau problème ici, mais plutôt là : Produit Scalaire : DM

*** message déplacé ***

Bonjour,

Connais-tu le centre de gravité G d'un triangle et sa propriété
GA+GB+GC = 0 ?

Dans ce cas, c'est assez simple :
MA.BC + MB.CA + MC.AN
= (MG+GA).BC + (MG+GB).CA + (MG+GC).AB
= MG.(BC+CA+AB) + GA.BC+GB.CA+GC.AB
= 0 + GA.(BG+GC) + GB.(CG+GA) + GC.(AG+GB)
= GA.BG+GB.GA + GA.GC+GC.AG + GB.CG+GC.GB
= 0 + 0 + 0

Nicolas

Bonjour,

Voici un début de piste (au passage, il y a une erreur dans ton énoncé dans la première question):

1. Il faut utiliser la relation de Chasles et les propriétés du produit scalaire :

Donc :
ou encore : .

Finalement :

2. Pour montrer que les 3 hauteurs sont concourrantes, il faut considérer, dans un premier temps, le point H, intersection des hauteurs issues de A et de B, puis, dans un deuxième temps, montrer que la 3e hauteur (issue de C) passe aussi par ce point H.
Si H est le point d'intersection des hauteurs issues de A et de B alors on a : et .
Donc, en prenant l'égalité démontrée à la première question, en remplaçant M par H, on arrive facilement au résultat ...

merci pour votre aide