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Produit scalaire et bases
bonjour à tous,
j'ai vu dans mon cours d'algèbre linéaire qu'on a plusieurs façons de calculer le produit scalaire.
Soient X et Y, 2 vecteurs de 
et B = {B1,B2}, une base de .
X = x1B1
Y=y1B1+y2B2
1er cas : Si {B1,B2} est une base orthonormée et orthogonale : X.Y = x1y1+x2y2 (produit scalaire canonique)
2e cas : Si {B1,B2}est une base orthogonale : X.Y = x1y1||B1||²+x2y2||B2||²
3e cas : Si {B1,B2}n'est ni une base orthogonale, ni normée :
X.Y = x1y1||B1||²+x2y2||B2||²+(x1y1+x2y2)B1.B2
voici l'exercice :
XB=(4;4) YB =(3,5;2,5)
XC=(1;1) YC=(1;0,5)
le but de l'exercice est de calculer les produits scalaires : XB.YB et XC.YC.
Pour le premier produit scalaire, on calcule le,produit scalaire avec le 1er cas.
Par contre, pour le 2e produit scalaire, on utilise la formule du 3e cas.
Pouvez-vous m'expliquer pourquoi, s'il vous plait??
Je ne vois pas pourquoi on n'utiliserait pas la même formule dans les 2 cas...
Merci d'avance
Clément
Bonsoir.
Notons : < X,X' > le produit scalaire de deux vecteurs X et X' de IR².
Si B = (U,V) est une base de IR², supposons que X ait pour coordonnées (x,y) et X' ait pour coordonnées (x',y') sur la base B. Cela signifie que X = xU + yV et que X' = x'U + y'V.
Le produit scalaire est "une forme bilinéaire symétrique définie positive". Cela signifie qu'il se développe comme un produit :
< X,X' > = < xU+yV,x'U+y'V > = xx'< U,U > + (xy'+x'y)< U,V > + yy'< V,V > = xx'||U||² + (xy'+x'y)< U,V > + yy'||V||²
Dans une base orthonormée ||U|| = ||V|| = 1 et < U,V > = 0
Dans une base orthogonale < U,V > = 0
Dans une base quelconque, rien de particulier.
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