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Produit semi direct
Bonjour,
j'ai beaucoup de mal à comprendre le produit semi direct, et surtout, le lien entre produit semi direct et morphisme.
Bon, quand on regarde la définition, on voit bien que la loi de multiplication entre un (h,k) et un (h',k'), dépend d'un certain morphisme, mais quand on regarde la proprieté suivante je me pose une question :
Ppté :
si H est un sous groupe distingué de G, si K est un sous groupe de G, si HK=G, si H et K sont d'intersection triviale, alors G est produit semi direct de H par K.
Mais quel produit semi direct alors ? Puisque ça dépend d'un morphisme, a priori...
Merci de m'éclairer !
Bonjour
Comme H est distingué, K opère sur H par automorphismes intérieurs.
Précisément,
La loi est donc
Bonjour Camelia,
concrètement, si j'ai un sous groupe distingué H et un sous groupe K, puis-je avoir deux produits semi direct H par K différents ? Il me semblait que oui, mais d'après ce que tu écris, on dirait que non, puisque la loi associée semble être la conjuguaison...
En fait la définition du produit semi-direct se fait à partir d'un morphisme et on démontre que deux produits semi-directs associés à
et
sont isomorphes si et seulement s'il existe
tel que
. Donc ça dépend vraiment du morphisme.
Dans ton cas, comme tu démarrais avec un sous-groupe distingué et qu'on ne précisait rien, il s'agissait surement de l'opération induite par les automorphismes intérieurs.
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