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projecteur

Posté par
st1fl3r 24-04-08 à 20:10

Bonsoir à tous !

j'ai un petit soucis ...

Soit E un espace vectoriel et p un projecteur de E.

Montrer que IdE-p est un projecteur. ok

Comparer les images et noyaux de p et IdE-p !

je devrais trouver Ker p = Im (IdE-p) et Im p= Ker (IdE-p)

Mais e ne comprends pas pourquoi ?

Pouvez vous m'aider svp !

merci

Posté par
tealcre : projecteur 24-04-08 à 20:14

bonsoir,

en fait, p et Id_E-p sont des projecteurs dits associées. L'image de l'un est le noyau de l'autre et vice versa.

En clair, si p projette sur A parallèlement à B, alors Id_E-p projette sur B parallèlement à A ...

Posté par
tealcre : projecteur 24-04-08 à 20:17

oups je suis allé trop vite.

Soit donc x dans Ker(p).

p(x) = 0. Donc x-p(x) = x c'est à dire x = (Id_E-p)(x) \in \rm{Im}(Id_E-p)

Réciproquement, soit x dans \rm{Im}(Id_E-p)

il existe donc y tel que x = (Id_E-p)(y) = y - p(y)

Mais alors p(x) = p(y-p(y)) = p(y) -\underbrace{p^2(y)}_{=p(y)\rm{ car p projecteur}} = p(y)-p(y) = 0

Posté par
st1fl3rre : projecteur 24-04-08 à 20:21

oui en effet j'ai remarqué cette propriété mais à partir de la conclusion, cela aurait du être l'inverse ...
je ne vois pas pourquoi IdE- p projette sur B parallèlement à A.

Posté par
st1fl3rre : projecteur 24-04-08 à 20:23

okay merci j'ai tout compris !

Posté par
tealcre : projecteur 24-04-08 à 20:25

parfait ^^ juste un p'tit truc, une fois prouvé que Ker(p) = Im(IdE-p) tu ne montres surtout pas l'autre égalité (Im(p) =...), mais tu appliques cette égalité non pas  à p, mais au projecteur IdE-p ce qui te fais gagner une démonstration ^^


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