Bonjour.

L'une des formules les plus importantes des projecteurs est la suivante :

pour tout projecteur p, x Im(p) p(x) = x.

Cela étant, passons à ta question 2°), où je me permets de poser e = Id_E

x Im(e-p) x = (e-p)(x) x = x - p(x) p(x) = O x Ker(p)

Tu peux remonter ce calcul,donc il y a équaivalence.

Essaie de voir la seconde partie.

pour la seconde partie !!

je propose ma démarche, dites moi si cela vous parait correct !

quelques x apprtenant a Kerp, p(x)=0
x appartient à ker (e-p)<=> (e-p)(x)=0 <=> e(x)-p(x)=0 <=> e(x)=0

or je ne peux conclure sur Imp ? qui est l'ensemble des f(x) tels que x sont dans E...

Tu as commis une erreur de calcul : e(x) = x et non pas e(x) = O

x Ker(e-p) (e-p)(x) = O e(x) - p(x) = O

x - p(x) = O p(x) = x x Im(p)

d'accord merci !

suite à celà il me reste qq soucis au niveau d'un autre exo, je me permet de vous en faire par ici !

voici l'énonce :
e est un K espace vectoriel, f endomorphisme vérifiant f^3 - f² - 2f = 0
ON VEUT MONTRER QUE E = kerf ⊕ ker(f-2Id) ⊕ Ker(f+Id)

1. Montrer que pour tout x de E, il existe x' de Ker(f+Id) et x'' de Ker(f-2Id) tels que
2x'' - x' = f(x)
4x'' + x' = f²(x)!

Je suis donc partit sur cela :

Quelquesoit x appartenant à E, il existe x1 de Ker(f+Id) tel que
(f+Id) (x') = 0 <=> f(x') + x' =0 <=> f(x') = -x'
et de meme pour x'' mais je voudrais un coup de main, je ne vois pas comment utiliser la relation de l'énoncé (f^3 - f² -2f =0)

Merci d'avance de vos éclairages !! ^^

aucune pistes ?