salut le forum !
Bon petit wkend ??
Alors je viens pour un petit problème sur un exo de maths, dont voici l'énoncé..
On pose E = Kev.
I et 0 désignent respectivement l'identité et l'endomorphisme nul de E.
1°/ Montrer que p est un projecteur de E si, et seulement si, Id E - p est un projecteur de E.
2°/ Montrer que si p est un projecteur de E, alors :
Im (Id E - p) = Ker (p) et Ker (Id E - p) = Im (p)
La première question je l'ai faite sans pb !
deuxième question je coince un peu .. ( et la troisième je ne la comprend pas je l'exposerai peut etre plus tard )
Un coup de main pour la question 2 serait-ce possible ?
(par avance merci et bon dimanche)
Bonjour.
L'une des formules les plus importantes des projecteurs est la suivante :
pour tout projecteur p, x Im(p) p(x) = x.
Cela étant, passons à ta question 2°), où je me permets de poser e = IdE
x Im(e-p) x = (e-p)(x) x = x - p(x) p(x) = O x Ker(p)
Tu peux remonter ce calcul,donc il y a équaivalence.
Essaie de voir la seconde partie.
pour la seconde partie !!
je propose ma démarche, dites moi si cela vous parait correct !
quelques x apprtenant a Kerp, p(x)=0
x appartient à ker (e-p)<=> (e-p)(x)=0 <=> e(x)-p(x)=0 <=> e(x)=0
or je ne peux conclure sur Imp ? qui est l'ensemble des f(x) tels que x sont dans E...
Tu as commis une erreur de calcul : e(x) = x et non pas e(x) = O
x Ker(e-p) (e-p)(x) = O e(x) - p(x) = O
x - p(x) = O p(x) = x x Im(p)
suite à celà il me reste qq soucis au niveau d'un autre exo, je me permet de vous en faire par ici !
voici l'énonce :
e est un K espace vectoriel, f endomorphisme vérifiant f^3 - f² - 2f = 0
ON VEUT MONTRER QUE E = kerf ⊕ ker(f-2Id) ⊕ Ker(f+Id)
1. Montrer que pour tout x de E, il existe x' de Ker(f+Id) et x'' de Ker(f-2Id) tels que
2x'' - x' = f(x)
4x'' + x' = f²(x)!
Je suis donc partit sur cela :
Quelquesoit x appartenant à E, il existe x1 de Ker(f+Id) tel que
(f+Id) (x') = 0 <=> f(x') + x' =0 <=> f(x') = -x'
et de meme pour x'' mais je voudrais un coup de main, je ne vois pas comment utiliser la relation de l'énoncé (f^3 - f² -2f =0)
Merci d'avance de vos éclairages !! ^^
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