salut

si p+q est un projecteur alors (p+q)(p+q)=p+q

en développant (attention : ce n'est pas un produit mais une composée) et simplifiant on trouve pq+qp=0 soit pq=-qp

car p²=p et q²=q car p et q projecteurs

es-tu sur de ton égalité?

Salut,

oui c'est vrai,  on a déja pq=-qp.(*)

Maintenant en composant par p à gauche (*) on obtient:

poq+poqop=0

En composant à droite par p (*), on a : poqop+qop=0 d'ou poq=qop.

Pour la réciproque, il faut supposer je pense poq=qop=0 et c'est immédiat dans ce cas.

Disons que dans le sens direct on obtient en caractéristique différente de 2, poq=-qop et poq= qop d'ou poq=0.

Et c'est faux en caractéristique 2,

on regarde sur Z/2Z les projecteurs p=q=Id alors p+q est l'application nulle qui est un projecteur mais poq=qop= Id sont différents de 0.

On est bien obligé de supposer poq=qop=0, sinon sur R on prend pareil p=q=Id alors poq=qop et p+q n'est pas un projecteur.

merci pour ce complément d'info

De rien

Merci beaucoup pour c'est information.

ces informations pardon. Honte sur moi

Tant que c'est corrigé vite