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projecteurs
Bonjour tout le monde, j'ai un soucis avec cet exercice:
Soit un
-ev,on suppose que
,étant donné des projecteurs
on souhaite montrer que la somme
est un projecteur ssi
a)on suppose que montrer que
est un projecteur(ça ok)
b)on suppose maintenant que est un projecteur
i)montrer que
ii)en déduire que
pour le 2)i)
j'ai réussi à montrer que et que
mais j'ai du mal à conclure...
en fait c'est au niveau de la somme que ça coince...
une idée?
Bonjour, robby3
Le rang de p est donc la somme des traces de pi donc la somme des rangs de p_i.
Donc, la dimension de Im(p) est égale à la somme des dimensions de Im(p_i).
Comme Im(p) est inclus dans la somme des Im(p_i), la seule possibilité est que la somme des Im(p_i) soit directe.
Salut tout les deux
oui,je vois, merci!
en fait on a forcément pour tout
?
mais quel est le rapport avec la conclusion de l'exercice?
on sait que est un projecteur:
et
je vois pas du tout le "en déduire"?
une piste peut-etre?
Soit x un élément de Im(p_i). C'est un élément de Im(p), d'après la question 2i). On a alors une décomposition de x suivant la somme directe des Im p_i sous la forme
x= p_1(x)+ ... +p_k(x)
Mais on a aussi la décomposition de x suivante:
x= x_1 + ... + x_k avec x_i=x et x_j=0 pour j distinct de i.
Par unicité de la décomposition de x, on a p_j(x)=x_j=0
Donc, pour tout x de Im(p_i) , pour tout j distinct de i p_j(x)=0
Ce qui montre que p_j o p_i = 0 pour j distinct de i.
x appartient à Im(p_i)
0 appartient à Im(p_j) pour j distinct de i
Donc, cette égalité est bien une décomposition de x selon la somme directe des Im(p_k)
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