Bonjour,

j'imagine que n désigne la dimension de l'espace ambiant et que f et g sont des endomorphismes.

Tu commencer par montrer que ker f et ker g sont supplémentaires.

* Tu peux commencer *

Bonjour,
Essayer de le faire par récurrence avec la propriété P "n= dim E , f+g=I et rg(f)+rg(g)n alors f, g projecteur.

pour n=1 facile.
supposons Pn vraie.Démontrons P_n+1.
A cause de rg(f)+rg(g)n+1 on a soit kerf ou kerg non réduit à O
supposons que ce soit kerg et considérons alors u non nul dans kerg
A cause de f+g=I si uker(g) alors f(u)=u.
Définir ensuite E_n un supplémentaire de {u} donc de dim n.
Appliquer ensuite Pn aux restrictions de f et g à E_n. Enfin finir pour V = V₁+xu dans E_n+1

Bonjour alexre,

sans passer par la récurrence, on peut:

- montrer que ker f et ker g sont supplémentaires, en raisonnant sur les dimensions.
- montrer ensuite que Im g = ker f en montrant que ker f est inclus dans Im g (resp. Im f = ker g), puis conclure que f et g sont des projecteurs.

Bonjour, effectivement on peut demontrer facilement que dim Kf+dimKgn et que KfKg={O} donc que Kf et Kg supplémentaires. La récurrence est la première solution qui m' est venue.

Merci à vous deux.
Je regarde ça!