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Projecteurs, Noyau,Image
Bonjour ou bonsoir, merci de vous intéresser a mon message, je vous expose mon problème :
Soit E, un R-espace vectoriel non réduit à son vecteur nul.
On s'intéresse aux endomorphismes f de E vérifiant la relation f²=1/2 (f+IdE)
Partie C : Etude des combinaisons linéaires de f et IdE
On pose p=(2/3)f+(1/3)IdE
1/ Montrer que P est un projecteur.
2/Montrer que Im(p)=Ker(f-IdE). Caractériser de même Ker(p)
Les deux premières partie ne sont pas nécessaires je pense, je ne vois pas de lien e tout cas, vous pouvez trouver le sujet complet sur : http://lespel.pagesperso-orange.fr/DS_0910/DS6_0910.pdf (Cf Exercice 3)
Ces deux questions la me posent donc un problème, pour la première je serai tenter de prouver que p appartient a L(E) et que p²=p mais suis-je sur la bonne piste? je pense qu'on doit pouvoir faire autrement !
Pour la questions 2 je pense a une double inclusion mais je n'y arrive pas,
Sauriez-vous m'aider ?
Merci d'avance, cordialement Salak.
Bonsoir
pour la première je serai tenter de prouver que p appartient a L(E) et que p²=p mais suis-je sur la bonne piste?
Oui!
Merci ! En effet , p²=((2/3)f+(1/3)IdE)²=(4/9)f²+(4/9)(f*IdE)+(1/9)IdE²
=(2/9)(f+IdE)+(4/9)f+(1/9)IdE
=(2/3)f+(1/3)IdE
Et pour l'endomorphisme de E j'ai pris (
,
)
p²
avec f qui vérifie les conditions de l'exercice (à savoir f endomorphisme de E vérifiant (*)) pour pouvoir me servir de l'application p : E
E
(2/3)f()+(1/3)IdE() et 
afin de pouvoir montrer que p(+)=p()+p(). On se sert de f linéaire et et IdE linéaire aussi.
De plus p est alors le projecteur sur im(p) parallèlement a ker(p).
Cela peut-il nous servir pour la question suivante ? Une piste ou si c'est la double inclusion quelles sont les premières étapes ?
Je dirais à vue de nez: la double inclusion.
* Im(p)
Ker(f-IdE).
Soit yIm p: alors 
xE tq y=p(x)c'est a dire
y = 2/3f(x) + 1/3x
tu calcules alors (f-Id) (y)= f(y) - Id(y) = f(y)- y = 2/3 f²(x) - 1/3 f(x) - (2/3f(x) +1/3x) etc et tu montres que ça fait 0
*Ker(f-IdE) Im(p)
soit x dans Fer (f-Id) alors f(x) = x etc...
Bonne chance!
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