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projection orthogonale

Posté par
suz007 15-01-09 à 16:33

Bonjour à tous !

Voici un autre exercice que je ne comprend pas...

Soit E= R3 et u(1,0,1) dans la base canonique.Déterminer la matrice dans la base B de la projection orthogonale f de E sur d(u).

Donc c'est une projection orthogonale sur la droite d(u) qui a pour équation ax + by + c ?

Fin je vois pas trop comment commencer !
Merci de m'aider !

Posté par
Camélia Correcteurre : projection orthogonale 15-01-09 à 16:37

La droite d(u) est probablement la droite engendrée par u. Elle contient tous les éléments tu pour t réel, c'est-à-dire (t,0,t) et SES équations sont x=z et y=0.

Le mieux est de chercher une base orthogonale qui contient u.

Posté par
suz007re : projection orthogonale 15-01-09 à 16:49

d'accord...
Mais comment faire ?

Posté par
Camélia Correcteurre : projection orthogonale 15-01-09 à 17:02

En remarquant que le plan orthogonal à d(u) est formé des vecteurs (x,y,z) dont le produit scalaire avec u est nul.

Posté par
suz007re : projection orthogonale 15-01-09 à 17:08

ok ce qui nous donne l'équation x +z = 0 donc x = -z
donc ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : projection orthogonale 15-01-09 à 23:14

Si on note B=(e_1,e_2,e_3) la base canonique de \mathbb{R}^3 et p la projection orhogonale sur d(u) ona :

3$\fbox{p(e_i)=<e_i|u>.u\;,\;i=1,2,3} sauf erreur bien entendu

Posté par
suz007re : projection orthogonale 17-01-09 à 13:21

mais c'est quoi ma base ??

je suis perdu snif

Posté par
suz007re : projection orthogonale 18-01-09 à 15:53

personne pour m'aider ?!,

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : projection orthogonale 18-01-09 à 17:47

\fbox{*} L'espace euclidien E=\mathbb{R}^3 est ici muni de son produit scalaire canonique défini par 2$\fbox{<(x,y,z)\;|\;(x',y',z')>\;=\;xx'+yy'+zz'}
et sa base canonique 2$\fbox{\scr B=(e_1,e_2,e_3)=\left((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\right)} est orthonormée pour ce produit scalaire.

\fbox{*} En général si F est un sous-espace de E de dimension 2$\fbox{p\in\{1,2,3\}} et dont 2$\fbox{(u_1,..,u_p)} est une base orthonormée

la projection orthogonale f de E sur F est définie par : 3$\blue\fbox{\forall x\in E\;,\;f(x)=\Bigsum_{i=1}^{p}<x|u_i>.u_i}.

\fbox{*} Dans ton exercice on a F=d(u) où u=(1,0,1) donc p=1 et u_1=\frac{u}{||u||}=(\frac{1}{\sqrt2},0,\frac{1}{\sqrt2})d'où 3$\fbox{f(e_1)=<e_1,u_1>.u_1=(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})\\f(e_2)=<e_2,u_1>.u_1=(0,0,0)\\f(e_3)=<e_3,u_1>.u_1=(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})}

et donc 4$\blue\fbox{Mat_{\scr B}(f)=\(\begin{tabular}{ccc}&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\&0&0&0\\&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\\end{tabular}\)} sauf erreur bien entendu

Posté par
suz007re : projection orthogonale 19-01-09 à 07:31

daccord...
imaginons maintenant que je veux déterminer la projection orthogonale sur un plan ?


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