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Projection orthogonale
Bonjour tout le monde:
je suis coincé avec cet exercice :
soit F un sous espace vectoriel de E et P une projection sur F
démontrer que les énonces suivants sont equivalents:
1-P est une projection orthogonale
2-<Px,Py> = <Px, y> quelque soit x,y appartient à E
3-<Px,y> = <x,Py> quelque soit x,y appartient à E
4- Img(IdE - P)= orthogonal de Img(P)
et merci d'avance
Bonjour
Je suppose qu'il s'agit d'un espace euclidien
< P(x),y > = < P(P(x)),P(y) > = < P(x), P(y) >
Immédiat en changeant les rôles de x et de y dans la précédente.
. Soit
. Il existe x tel que y=x-P(x). Soit
Il existe u tel que
. On a
< y,z >=< P(x)-x,P(u) > = < P(x), P(u) > - < x,P(u) > = < P(x),P(u) > - < P(x), P(P(u)) > =0
Ceci prouve que . Pour finir, ou bien tu prouves l'inclusion dans l'autre sens ou bien tu montres que ces espaces sont de même dimension.
x et y sont quelconques.
< x , y > - < P(x), P(y) >= < x,y > - < P(x),y > + < P(x) , y > - < P(x), P(y) >= < x-P(x) , y> + < P(x) , y-P(y) > =0
car x-P(x) est orthogonal à P(y) et y-P(y) est orthogonal à P(x).
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