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Projection orthogonale et hyperplans
Salut !
Un exo .... 
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension supérieure à 2.
Soit x et y deux vecteurs distincts de E tels que .
Montrer qu'il existe un unique hyperplan H de E tel que
Tout simplement, ça me rend malade ces exos mélangés avec les projecteurs et symétries !
Merci ! 
Salut
Je ne suis absolument pas sûr de ce que j'avance, donc méfiance 
Soit un hyperplan tel que
. On sait qu'il existe une droite vectorielle
telle que
.
Donc on peut écrire avec
On applique le produit scalaire :
Or par hypothèse d'où
et donc
Donc et si on définit la projection orthogonale sur
de direction
on a bien
.
Ca m'a l'air bancale
Salut Monrow et re Kevin!
On peut supposer y non nul, sinon tout est évident.
Remarque alors que l'hypothèse équivaut à: donc à
Cet espace vectoriel H est un hyperplan puisque le produit scalaire est une fbs définie positive et que
L'unicité est évidente: il existe un seul hyperplan orthogonal à x-y et contenant y : l'orthogonal de x-y !
Salut Kév !
ah oui ! bonne idée !
On prend H un hyperplan où y-x est un vecteur normal !
on a : (x-y|y)=(x|y)-(y|y)=0 (par hypothèse) donc y € H
donc s'écrit sous une forme unique: x=y+(x-y) avec y de H et x-y du perpendiculaire
ainsi
donc l'hyperplan dont le vecteur normal est y-x est solution !
Pour l'unicité : un hyperplan se détermine de façon unique si on détermine son vecteur normal , et hop y a un seul hyperplan de vecteur normal y-x !
tu penses que c'est bon,
Je vais pas créer un autre topic puisque c'est le même fil ! 
un autre exo qui me gêne ! il faut que je m'habitue !
Soit a et b deux vecteurs distincts d'un espace vectoriel euclidien E tels que .
Montrer qu'il existe une unique réflexion échangeant a et b .
On cherche s telle que s(a)=b et s(b)=a donc telle que s(a-b) = -(a-b)
Pose H = Vect(a-b)|
Et il me semble que la réflexion par rapport à H convient.
Oui ça marche en écrivant a = 1/2(a+b) + 1/2(a-b)
Et on a (a+b|a-b) = 0 en utilisant l'hypothèse ||a||=||b||
Et on vérifie que s(a) = b.
Oui c'est bon!
Pour l'unicité, il suffit là encore d'invoquer l'unicité de l'hyperplan orthogonal au vecteur non nul a-b!
Tes explications sont toujours le bienvenue !
Tigweg>> Oui, n'hésite jamais nous donner des commentaires et des explications !
->Euh...Merci!
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